Alternativa C
O objetivo desta questão é analisar as propriedades da função seno f(x) = \sin x, definida de \mathbb{R} em \mathbb{R}. Vamos verificar cada afirmação individualmente para determinar quais são verdadeiras.
Análise das Afirmações
- Afirmação 1 (Falsa): Uma função é dita par se f(-x) = f(x) e ímpar se f(-x) = -f(x). Para o seno, vale a identidade \sin(-x) = -\sin(x). Isso caracteriza a função seno como ímpar, não par. O cosseno seria o exemplo de função par.
- Afirmação 2 (Verdadeira): As funções trigonométricas fundamentais possuem comportamento periódico. O gráfico do seno se repete a cada $2\pi$ radianos (ou 360 graus). Matematicamente, \sin(x + 2\pi) = \sin(x) para todo x. Portanto, o período é $2\pi$.
- Afirmação 3 (Falsa): Para uma função ser sobrejetora, a imagem dela deve coincidir exatamente com o contradomínio indicado na definição. Aqui, o contradomínio é \mathbb{R} (todos os números reais), mas o conjunto imagem da função seno é o intervalo [-1, 1]. Como existem números reais fora desse intervalo que não são atingidos pela função, ela não é sobrejetora.
- Afirmação 4 (Verdadeira): Vamos calcular os valores específicos usando o ciclo trigonométrico ou tabela padrão:
- f(0) = \sin(0) = 0
- f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}
- f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin(90^\circ) = 1
Todas as igualdades apresentadas estão corretas.
Conclusão
Com base na análise acima, apenas as afirmações 2 e 4 são verdadeiras. Isso corresponde à alternativa C.