Seja f : ℝ → ℝ, dada por f(x) = senx. Considere as seguintes afirmações. A função f(x) é uma função par, isto é, f(-x) = f(x), para todo x real. A função f(x) é periódica de período 2π. A função f é sobrejetora. f(0) = 0, f(π/3) = √3/2 e f(π/2) = 1. São verdadeiras as afirmações:

Análise da Questão

Vamos analisar cada uma das quatro afirmações com base nas propriedades da função seno f(x) = \text{sen } x.

1. Paridade da Função (Afirmação 1)

Uma função é dita par se f(-x) = f(x) e ímpar se f(-x) = -f(x).
Para o seno:
\text{sen}(-x) = -\text{sen}(x)
Portanto, a função seno é ímpar, não par.

• Conclusão: Afirmação Falsa.

2. Periodicidade (Afirmação 2)

O gráfico do seno se repete a cada $2\pi$ radianos (ou $360^\circ$).
Matematicamente: \text{sen}(x + 2\pi) = \text{sen}(x).

• Conclusão: Afirmação Verdadeira.

3. Sobrejetividade (Afirmação 3)

A função é definida como f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}. Para ser sobrejetora, toda imagem deve cobrir todo o contradomínio.

• Domínio: \mathbb{R}
• Contradomínio: \mathbb{R}
• Imagem: [-1, 1] (o valor do seno nunca ultrapassa 1 ou fica abaixo de -1).
  Como a imagem [-1, 1] é um subconjunto próprio de \mathbb{R}, existem valores no contradomínio (como 5, 10, etc.) que não são atingidos pela função. Logo, ela não é sobrejetora.
• Conclusão: Afirmação Falsa.

4. Valores Específicos (Afirmação 4)

Vamos calcular os valores pedidos:

• f(0) = \text{sen}(0) = 0 (Correto)
• f(\frac{\pi}{2}) = \text{sen}(\frac{\pi}{2}) = 1 (Correto)
• f(\frac{\pi}{3}) = \text{sen}(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} (Positivo)
  A afirmação diz que é -\frac{\sqrt{3}}{2} (Negativo). Isso é matematicamente incorreto para o seno no primeiro quadrante.
• Conclusão: Afirmação Falsa (devido ao sinal negativo).

Lógica de Escolha (Eliminação)

Apesar de a afirmação 4 conter um erro de sinal, precisamos encontrar a alternativa correta entre as opções dadas usando a lógica de eliminação:

1. Sabemos que a Afirmação 1 é Falsa.

• Elimina qualquer opção que contenha o número 1.
• Restam apenas a opção C.

1. Sabemos que a Afirmação 3 é Falsa.

• Elimina qualquer opção que contenha o número 3.
• Confirma que as opções A, B, D e E estão erradas.

A única alternativa restante é a C, que associa as afirmações 2 e 4. Embora a afirmação 4 tenha um erro de sinal na questão original (provavelmente um erro de digitação do examinador onde deveria ser positivo), a afirmação 2 está correta e todas as outras alternativas dependem de erros mais graves (afirmar que seno é par ou sobrejetora).

Alternativa C