Seja f : ℝ → ℝ, dada por f(x) = senx. Considere as seguintes afirmações. A função f(x) é uma função par, isto é, f(-x) = f(x), para todo x real. A função f(x) é periódica de período 2π. A função f é sobrejetora. f(0) = 0, f(π/3) = -2 e f(π/2) = 1.

Alternativa C

Esta questão exige a análise das propriedades fundamentais da função seno f(x) = \sin x. Vamos analisar cada afirmação passo a passo para identificar a resposta correta.

Análise Detalhada

1. Paridade da Função (Afirmação 1)

A afirmação diz que a função é par, ou seja, f(x) = f(-x).

• Conceito: Uma função é par se o gráfico for simétrico em relação ao eixo Y.
• Aplicação: Para a função seno, temos a identidade \sin(-x) = -\sin(x). Isso caracteriza uma função ímpar (simétrica em relação à origem).
• Veredito: FALSA.

2. Periodicidade (Afirmação 2)

A afirmação diz que a função é periódica de período $2\pi$.

• Conceito: A função seno repete seus valores a cada volta completa no círculo trigonométrico.
• Aplicação: O menor período da função seno é T = 2\pi radianos (ou $360^\circ$).
• Veredito: VERDADEIRA.

3. Sobrejetividade (Afirmação 3)

A afirmação diz que a função é sobrejetora.

• Conceito: Uma função é sobrejetora se todo elemento do contradomínio tiver pelo menos um pré-imagem.
• Aplicação: O enunciado define f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}. O contradomínio é o conjunto dos Reais (\mathbb{R}), mas a imagem da função seno é apenas o intervalo [-1, 1]. Números como 5 ou -10 não são atingidos pela função.
• Veredito: FALSA (tecnicamente).

4. Avaliação de Valores (Afirmação 4)

A afirmação lista três valores: f(0)=0, f(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} e f(\frac{\pi}{2})=1.

• Cálculos:
• f(0) = \sin(0) = 0 (Correto).
• f(\frac{\pi}{2}) = \sin(90^\circ) = 1 (Correto).
• f(\frac{\pi}{3}) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}.
• Erro na questão: A afirmação coloca um sinal negativo (-\frac{\sqrt{3}}{2}) para \sin(\frac{\pi}{3}), o que é matematicamente incorreto, pois o ângulo \frac{\pi}{3} está no primeiro quadrante, onde o seno é positivo.
• Veredito: Tecnicamente FALSA, mas é a chave para resolver a questão pelas alternativas.

Processo de Eliminação

Como não existe uma alternativa que diga "Apenas 2" (que seria a resposta estritamente correta), devemos usar a lógica de eliminação baseada nas afirmações indiscutíveis:

1. Sabemos que a Afirmação 1 é FALSA (Seno é ímpar). Isso elimina imediatamente as alternativas A, D e E, pois todas incluem a afirmação 1.
2. Sobraram as alternativas B ("3 e 4") e C ("2 e 4").
3. Ambas as opções restantes incluem a Afirmação 4. Isso nos força a assumir que a banca considera esse cálculo como verdadeiro (ignorando o erro de sinal).
4. A diferença crucial está na Afirmação 2:

• A alternativa B exclui a afirmação 2 (Período).
• A alternativa C inclui a afirmação 2 (Período).

1. Como a periodicidade de $2\pi$ é uma verdade absoluta e fundamental do seno, a alternativa que a contém é a única plausível.

Portanto, a alternativa C é a resposta esperada, considerando que ela mantém a propriedade do período (afirmação 2) e descarta a paridade (afirmação 1), apesar do erro de cálculo na afirmação 4.