Seja f: ℝ → ℝ, definida f(x) = { 3x + 3, x ≤ 0; x² + 4x + 3, x > 0. Podemos afirmar que:

Alternativa C

Para resolver esta questão, precisamos analisar as propriedades da função definida por partes e calcular a imagem inversa dos valores indicados.

Análise da Função

A função é dada por:
f(x) = \begin{cases} 3x + 3, & \text{se } x \leq 0 \\ x^2 + 4x + 3, & \text{se } x > 0 \end{cases}

Vamos analisar o comportamento de cada "pedaço" da função:

1. Primeira parte (x \leq 0):

• Função afim f(x) = 3x + 3.
• Coeficiente angular positivo ($3$), logo é crescente.
• No ponto x = 0, temos f(0) = 3(0) + 3 = 3.
• Conforme x \to -\infty, f(x) \to -\infty.
• Imagem desta parte: (-\infty, 3].

1. Segunda parte (x > 0):

• Função quadrática f(x) = x^2 + 4x + 3.
• O vértice da parábola ocorre em x_v = -b/2a = -4/2 = -2.
• Como analisamos apenas x > 0, estamos à direita do vértice, onde a parábola é crescente.
• Limite quando x \to 0^+: f(x) \to 0^2 + 4(0) + 3 = 3.
• Conforme x \to +\infty, f(x) \to +\infty.
• Imagem desta parte: (3, +\infty).

Verificação de Injetividade e Sobrejetividade

• Sobrejetiva: O conjunto imagem total é a união das imagens das duas partes: (-\infty, 3] \cup (3, +\infty) = \mathbb{R}. Como o contradomínio também é \mathbb{R}, a função é sobrejetora.
• Injetiva: Ambas as partes são estritamente crescentes e seus conjuntos imagem são disjuntos (exceto pelo limite, que pertence apenas ao primeiro caso). Não existem dois valores distintos de x que gerem o mesmo f(x). Logo, a função é injetora.
• Conclusão: Uma função que é injetora e sobrejetora é chamada de bijetora. Isso elimina as alternativas A e B.

Cálculo da Inversa

Precisamos encontrar qual valor de x gera determinado valor de saída (y) para validar as opções C, D e E.

• Opção C: $f^{-1}(3) = 0$
• Queremos saber para qual x temos f(x) = 3.
• Testando na primeira parte (x \leq 0): $3x + 3 = 3 \Rightarrow 3x = 0 \Rightarrow x = 0$.
• O valor x = 0 satisfaz a condição x \leq 0.
• Portanto, f(0) = 3, o que significa que f^{-1}(3) = 0. Esta afirmação está correta.
• Confirmação das outras opções:
• Opção D (f^{-1}(0) = 1): Se x=1, f(1) = 1^2 + 4(1) + 3 = 8 \neq 0. Além disso, f(x)=0 ocorre em x=-1 (na primeira parte).
• Opção E (f^{-1}(0) = -2): Se x=-2, f(-2) = 3(-2) + 3 = -3 \neq 0.

Resumo:

A alternativa correta é a C.