Seja $f: § → §$, definida $f(x) = egin{cases} 3x + 3, & x ≤ 0; \ x^2 + 4x + 3, & x > 0$. Podemos afirmar que:

Alternativa C

Para resolver esta questão, precisamos analisar as propriedades da função definida por partes (injetividade, sobrejetividade e bijectividade) e calcular os valores da função inversa.

Análise da Função

A função é dada por:
f(x) = \begin{cases} 3x + 3, & \text{se } x \leq 0 \\ x^2 + 4x + 3, & \text{se } x > 0 \end{cases}

Vamos analisar o comportamento de cada parte para determinar o conjunto imagem (alcance) da função.

1. Parte 1: x \leq 0

Esta é uma função afim (reta) com coeficiente angular positivo ($3$). Isso significa que ela é estritamente crescente.

• Valor máximo: No ponto x = 0, temos f(0) = 3(0) + 3 = 3.
• Tendência: Quando x \to -\infty, f(x) \to -\infty.
• Imagem desta parte: (-\infty, 3].

2. Parte 2: x > 0

Esta é uma função quadrática (parábola) com concavidade para cima (a=1). O vértice está em x_v = -b/(2a) = -4/2 = -2.
Como estamos restritos ao domínio x > 0 (à direita do vértice), a função é estritamente crescente neste intervalo.

• Limite à esquerda: Quando x \to 0^+, f(x) \to 0^2 + 4(0) + 3 = 3.
• Tendência: Quando x \to \infty, f(x) \to \infty.
• Imagem desta parte: (3, \infty).

Propriedades da Função

• Injetiva: Não há sobreposição nos valores de saída entre as duas partes (um vai até 3, o outro começa depois de 3). Além disso, cada parte é monótona. Logo, é injetora.
• Sobrejetiva: O conjunto imagem total é a união das imagens das partes: (-\infty, 3] \cup (3, \infty) = \mathbb{R}. Como o contradomínio também é \mathbb{R}, a função cobre todos os números reais. Logo, é sobrejetora.
• Bijetora: Por ser injetora e sobrejetora, a função é bijetora.

Isso elimina as alternativas A e B. Agora devemos verificar os valores da função inversa nas alternativas C, D e E.

Cálculo dos Valores da Inversa

A expressão f^{-1}(y) = x significa que queremos encontrar qual x gera o valor y na função.

Verificando a Alternativa C: $f^{-1}(3) = 0$
Precisamos ver se f(0) = 3.
Usando a primeira definição (x \leq 0):
f(0) = 3(0) + 3 = 3
O cálculo confirma que o antecessor de 3 é realmente 0. Esta alternativa parece correta.

Verificando a Alternativa D: $f^{-1}(0) = 1$
Precisamos ver se f(1) = 0.
Usando a segunda definição (x > 0):
f(1) = 1^2 + 4(1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8
Como $8 \neq 0$, a afirmação é falsa.

Verificando a Alternativa E: $f^{-1}(0) = -2$
Precisamos ver se f(-2) = 0.
Usando a primeira definição (x \leq 0):
f(-2) = 3(-2) + 3 = -6 + 3 = -3
Como -3 \neq 0, a afirmação é falsa.
(Nota: O valor correto seria f^{-1}(0) = -1, pois $3(-1)+3 = 0$).

Conclusão

A função é bijetora e o valor da inversa para 3 é de fato 0. Portanto, a única afirmação correta é a letra C.

Alternativa C