Alternativa C
Para resolver esta questão, precisamos analisar as propriedades da função definida por partes: injetividade, sobrejetividade e o cálculo dos valores da função inversa.
f(x) = \begin{cases} 3x + 3, & x \leq 0 \\ x^2 + 4x + 3, & x > 0 \end{cases}
Análise da Função
1. Estudo da Imagem (Sobrejetividade):
- Primeira parte (x \leq 0):
f(x) = 3x + 3
Esta é uma função linear crescente. Quando x = 0, temos f(0) = 3. Como x pode ser qualquer número negativo, a imagem varia de -\infty até $3$.
Im_1 = (-\infty, 3] - Segunda parte (x > 0):
f(x) = x^2 + 4x + 3
Esta é uma parábola com concavidade para cima. O vértice está em x_v = -2, fora do domínio considerado (x > 0). No intervalo x > 0, a função é crescente. O limite quando x \to 0^+ é $3$.
Im_2 = (3, +\infty) - União das Imagens:
Im_f = (-\infty, 3] \cup (3, +\infty) = \mathbb{R}
Como a imagem coincide com o contradomínio (\mathbb{R}), a função é sobrejetora.
2. Estudo da Injetividade:
- Na primeira parte, $3x+3$ é estritamente crescente, logo é injetora.
- Na segunda parte, a parábola é estritamente crescente para x > 0, logo é injetora.
- Atenção aos valores: O valor $3$ pertence à imagem da primeira parte (quando x=0), mas não pertence à imagem da segunda parte (que começa acima de 3). Não há repetição de valores entre as partes.
- Portanto, a função é injetora.
Como a função é injetora e sobrejetora, ela é bijetora. Isso descarta as alternativas A e B.
Cálculo da Função Inversa
Precisamos verificar os valores dados nas alternativas C, D e E resolvendo f(x) = y para encontrar x = f^{-1}(y).
Teste para Alternativa C: $f^{-1}(3) = 0$
Queremos saber se f(0) = 3.
Utilizando a definição para x \leq 0:
f(0) = 3(0) + 3 = 3
O valor bate. Além disso, como a função é bijetora, a inversa é única.
Conclusão: A alternativa C está correta.
Teste para Alternativas D e E: $f^{-1}(0)$
Queremos saber qual x faz f(x) = 0.
- Testando x \leq 0: $3x + 3 = 0 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1$. (Válido)
- Testando x > 0: x^2 + 4x + 3 = 0 \Rightarrow (x+1)(x+3) = 0. As raízes são -1 e -3, nenhuma é maior que $0$.
Logo, f^{-1}(0) = -1.
Isso torna as alternativas D (f^{-1}(0)=1) e E (f^{-1}(0)=-2) falsas.
Resumo
| Propriedade | Conclusão |
|---|
| Injetora | Sim (não há repetição de imagens) |
| Sobrejetora | Sim (imagem cobre todo o \mathbb{R}) |
| Bijetora | Sim |
| Valor Inverso | f^{-1}(3) = 0 |
A alternativa correta é a C.