Alternativa C
O problema solicita o conjunto imagem de uma função definida por partes. Para resolver, devemos analisar o comportamento de cada um dos três trechos da função e depois unir os resultados obtidos.
f(x) = \begin{cases} -x-1, & \text{se } x \leq -1 \\ -x^2+1, & \text{se } -1 < x < 1 \\ x-1, & \text{se } x \geq 1 \end{cases}
Análise Detalhada por Trechos
- Primeiro Trecho (x \leq -1):
A expressão é f(x) = -x - 1.
- Substituindo o limite x = -1: f(-1) = -(-1) - 1 = 0.
- Como a função é linear com coeficiente angular negativo, ela é decrescente. Portanto, para valores menores que -1, o resultado será maior que $0$.
- Imagem deste trecho: [0, +\infty[.
- Segundo Trecho (-1 < x < 1):
A expressão é f(x) = -x^2 + 1.
- Trata-se de uma parábola com concavidade para baixo. O ponto de máximo é o vértice, onde x = 0.
- Valor no vértice: f(0) = -(0)^2 + 1 = 1.
- Nas extremidades do intervalo aberto, os valores tendem a $0$ (pois -(-1)^2 + 1 = 0 e -(1)^2 + 1 = 0).
- Imagem deste trecho: (0, 1].
- Terceiro Trecho (x \geq 1):
A expressão é f(x) = x - 1.
- Substituindo o limite x = 1: f(1) = 1 - 1 = 0.
- Como a função é crescente, para qualquer x > 1, o resultado será maior que $0$.
- Imagem deste trecho: [0, +\infty[.
Conclusão
O conjunto imagem total da função é a união dos conjuntos imagem de cada trecho:
\text{Im}(f) = [0, +\infty[ \cup (0, 1] \cup [0, +\infty[
Ao realizar a união, observamos que o intervalo [0, +\infty[ já engloba o intervalo (0, 1]. Portanto, o conjunto imagem final é:
\text{Im}(f) = [0, +\infty[
Isso corresponde exatamente à Alternativa C.