Alternativa C
A questão exige a análise das propriedades da função f definida por partes e o cálculo de um valor específico da função inversa. Para resolver, precisamos verificar se a função é injetora, sobrejetora ou bijetora.
Análise Detalhada
Para determinar se a função é bijetora, analisamos sua monotonicidade e imagem em cada intervalo.
1. Comportamento da Função
A função é composta por duas partes:
- Para x \leq 0: f(x) = 3x + 3. É uma função linear com coeficiente angular positivo ($3$), logo é estritamente crescente.
- Quando x = 0, f(0) = 3.
- Conforme x \to -\infty, f(x) \to -\infty.
- O alcance (imagem) desta parte é (-\infty, 3].
- Para x > 0: f(x) = x^2 + 4x + 3. É uma parábola com concavidade para cima.
- O vértice está em x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2} = -2.
- Como o domínio é x > 0, estamos na parte direita da parábola, onde a função é estritamente crescente.
- O limite quando x \to 0^+ é $3$.
- O alcance desta parte é (3, \infty).
2. Verificação de Bijetividade
- Injetiva: Uma função é injetora se valores diferentes de entrada geram saídas diferentes. Como ambas as partes são estritamente crescentes e não há sobreposição nos valores de saída (o primeiro termina em 3, o segundo começa acima de 3), a função é globalmente injetora.
- Sobrejetora: A união dos alcances é (-\infty, 3] \cup (3, \infty) = \mathbb{R}. Portanto, a função cobre todo o conjunto imagem, sendo sobrejetora.
Como a função é tanto injetora quanto sobrejetora, ela é bijetora. Isso elimina as alternativas A e B.
3. Cálculo da Inversa
Agora verificamos os valores pedidos nas alternativas C, D e E. Queremos encontrar x tal que f(x) = y.
- Verificando a alternativa C: f^{-1}(3) = 0.
Isso significa que devemos ter f(0) = 3.
Utilizando a primeira definição (x \leq 0):
f(0) = 3(0) + 3 = 3
O cálculo confirma que a afirmação é verdadeira. - Verificando a alternativa D: f^{-1}(0) = 1.
Precisamos ver se f(1) = 0.
f(1) = 1^2 + 4(1) + 3 = 8 \neq 0
Esta alternativa é falsa. (Na verdade, f^{-1}(0) = -1). - Verificando a alternativa E: f^{-1}(0) = -2.
Calculando f(-2) usando a primeira definição:
f(-2) = 3(-2) + 3 = -3 \neq 0
Esta alternativa também é falsa.
Conclusão
A função é bijetora porque é estritamente crescente em todo o seu domínio e sua imagem é todo o conjunto dos números reais. Além disso, o valor da função inversa em 3 é de fato 0.
Portanto, a única afirmação correta é a da Alternativa C.