Alternativa C
Para encontrar a resposta correta, devemos examinar cuidadosamente as propriedades da função trigonométrica f(x) = \sin x descritas em cada item. Vamos verificar a veracidade de cada afirmação com base na definição matemática da função seno.
Análise Detalhada
Abaixo, dissecamos cada ponto apresentado no enunciado para confirmar quais estão corretos:
- Afirmação 1 (Função Par): Diz-se que uma função é par quando f(x) = f(-x). No entanto, para o seno, vale a identidade \sin(-x) = -\sin(x). Isso caracteriza uma função ímpar, não par. Portanto, esta afirmação é Falsa.
- Afirmação 2 (Periodicidade): Uma função periódica repete seu valor após um intervalo fixo chamado período. A função seno repete seu comportamento a cada volta completa no círculo trigonométrico, ou seja, a cada $2\pi$. A relação \sin(x + 2\pi) = \sin(x) confirma que ela é periódica. Portanto, esta afirmação é Verdadeira.
- Afirmação 3 (Sobrejetividade): Para ser sobrejetora, toda imagem deve pertencer ao contradomínio. O domínio é \mathbb{R}, mas o contradomínio também foi definido como \mathbb{R}. O problema é que a imagem do seno é limitada ao intervalo [-1, 1]. Números maiores que 1 ou menores que -1 não existem na imagem da função. Logo, ela não é sobrejetora em relação a \mathbb{R}. Portanto, esta afirmação é Falsa.
- Afirmação 4 (Cálculos de Valores): Verificamos os valores específicos:
- f(0) = \sin(0) = 0
- f(\frac{\pi}{3}) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}
- f(\frac{\pi}{2}) = \sin(90^\circ) = 1
Todos os cálculos estão matematicamente corretos. Portanto, esta afirmação é Verdadeira.
Conclusão
Após a análise, concluímos que apenas as afirmações 2 e 4 são verdadeiras. As demais contêm erros conceituais sobre a paridade e a natureza da função seno. Assim, a opção correta é a C.