Dada a equação implícita x² + y² - 25 = 0, calcule dy/dx.

Alternativa A

Para resolver esta questão, utilizaremos o Teorema da Função Implícita, conforme instruído no enunciado da imagem. O objetivo é encontrar a derivada de y em relação a x (\frac{dy}{dx}) para uma equação onde y não está isolado explicitamente.

A equação dada é:
x^2 + y^2 - 25 = 0

Definimos essa expressão como uma função F(x, y):
F(x, y) = x^2 + y^2 - 25

A fórmula indicada para o cálculo é:
\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}

Análise

Precisamos calcular as derivadas parciais de F em relação a x e em relação a y.

1. Cálculo de F_x (derivada parcial em relação a x):

• Tratamos y como uma constante.
• A derivada de x^2 é $2x$.
• A derivada de y^2 (constante) é $0$.
• A derivada de -25 (constante) é $0$.
• Resultado: F_x = 2x

1. Cálculo de F_y (derivada parcial em relação a y):

• Tratamos x como uma constante.
• A derivada de x^2 (constante) é $0$.
• A derivada de y^2 é $2y$.
• A derivada de -25 (constante) é $0$.
• Resultado: F_y = 2y

1. Aplicação da fórmula:
   Substituímos os valores encontrados na fórmula original:
   \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y}

Simplificamos a fração dividindo numerador e denominador por 2:
\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}

Comparando este resultado com as opções apresentadas na imagem:

• A) -\frac{x}{y} (Correto)
• B) \frac{x}{y}
• C) \frac{2x}{y}
• D) -\frac{y}{x}

Portanto, a alternativa correta é a A.