Alternativa C
O objetivo deste problema é determinar o conjunto imagem da função definida por partes. Isso envolve calcular os valores assumidos pela função em cada intervalo do domínio e, em seguida, fazer a união desses resultados.
Para resolver, devemos analisar isoladamente cada uma das três expressões matemáticas que compõem a função f(x). O conjunto imagem final será a reunião dos conjuntos obtidos em cada etapa.
Análise
- Intervalo x \leq -1: A função é f(x) = -x - 1. Como x \leq -1, multiplicando por -1 temos -x \geq 1. Subtraindo $1$, obtemos -x - 1 \geq 0. Logo, a imagem desta parte é [0, +\infty[.
- Intervalo -1 < x < 1: A função é f(x) = -x^2 + 1. Trata-se de uma parábola com concavidade para baixo e vértice em (0, 1). Como x varia entre -1 e $1$ (aberto), x^2 varia de $0$ a $1$ (não incluindo $1$). Assim, -x^2 + 1 varia de $0$ a $1$ (incluindo $1$, excluindo $0$). A imagem é ]0, 1].
- Intervalo x \geq 1: A função é f(x) = x - 1. Como x \geq 1, subtraindo $1$ temos x - 1 \geq 0. Logo, a imagem desta parte é [0, +\infty[.
Somando todas as imagens encontradas ([0, +\infty[ \cup ]0, 1] \cup [0, +\infty[), o resultado final é o intervalo [0, +\infty[. Portanto, a alternativa correta é a C.