Alternativa C
Para encontrar o conjunto imagem da função definida por partes, precisamos analisar o comportamento de cada um dos três intervalos de domínio e depois unir os resultados. O conjunto imagem é formado por todos os valores de y possíveis para a função.
Análise por Trechos
1. Primeiro trecho: $x \leq -1$
- Fórmula: f(x) = -x - 1
- Esta é uma função afim decrescente.
- No limite esquerdo (x \to -\infty), o valor de -x tende para +\infty, logo f(x) tende para +\infty.
- No ponto de fechamento (x = -1), temos f(-1) = -(-1) - 1 = 0.
- Imagem deste trecho: [0, +\infty[
2. Segundo trecho: $-1 < x < 1$
- Fórmula: f(x) = -x^2 + 1
- Esta é uma parábola com concavidade voltada para baixo.
- O vértice ocorre em x = 0, onde f(0) = 1 (valor máximo).
- Nas extremidades do intervalo aberto (x \to -1 e x \to 1), a função tende a 0.
- Imagem deste trecho: ]0, 1] (contém valores entre 0 e 1).
3. Terceiro trecho: $x \geq 1$
- Fórmula: f(x) = x - 1
- Esta é uma função afim crescente.
- No ponto de início (x = 1), temos f(1) = 1 - 1 = 0.
- À medida que x cresce, f(x) também cresce sem limite (+\infty).
- Imagem deste trecho: [0, +\infty[
Conclusão
Ao unirmos as imagens dos três trechos:
\text{Im}(f) = [0, +\infty[ \cup \, ]0, 1] \cup \, [0, +\infty[
Como o primeiro e o terceiro trechos já abrangem todo o intervalo [0, +\infty[, o segundo trecho fica contido dentro deles. Portanto, o conjunto imagem total é:
\text{Im}(f) = [0, +\infty[
Isso corresponde exatamente à Alternativa C.