Análise da Questão
Este é um clássico exemplo de análise multivariável que demonstra como o limite ao longo de todas as retas não garante a existência do limite geral em duas variáveis.
Análise Matemática Detalhada
Definição da Função
A função está definida por partes:
f(x,y) = \begin{cases} \frac{(x^2 - y)y}{x^4} & \text{se } 0 < y < x^2 \\ 0 & \text{nos demais pontos} \end{cases}
Parte 1: Limite ao Longo de Qualquer Reta pela Origem
Para uma reta passando pela origem, temos y = mx onde m é a inclinação.
Caso 1: $m \geq 0$
Quando (x,y) \to (0,0) ao longo de y = mx:
- Para que esteja na região $0 < y < x^2$, precisamos: $0 < mx < x^2$
- Isso implica: $0 < m < x$ (para x > 0) ou x < m < 0 (para x < 0)
- Conclusão: Para x suficientemente próximo de 0, a condição $0 < y < x^2$ não se satisfaz
- Portanto, para x pequeno: f(x, mx) = 0
| Caminho | Condição | Valor de f(x,y) |
|---|
| y = mx com m > 0 | mx > x^2 quando x é pequeno | 0 |
| y = mx com m < 0 | mx < 0 (fora da região) | 0 |
| Eixo y (x=0) | Fora da definição | 0 |
| Eixo x (y=0) | Fora da região $0<y<x^2$ | 0 |
Assim, ao longo de qualquer reta, \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = 0.
Parte 2: O Limite Geral Não É Zero
Considere agora caminhos não-lineares dentro da região $0 < y < x^2$.
Escolha o caminho parabólico: y = kx^2 onde $0 < k < 1$
Substituindo na função:
f(x, kx^2) = \frac{(x^2 - kx^2)(kx^2)}{x^4}
Simplificando:
f(x, kx^2) = \frac{x^2(1-k) \cdot kx^2}{x^4} = \frac{k(1-k)x^4}{x^4} = k(1-k)
Resultado crucial: O valor é constante e depende de k!
| Caminho Parábolo | k | Limite |
|---|
| y = 0.1x^2 | 0.1 | $0.1 \times 0.9 = 0.09$ |
| y = 0.5x^2 | 0.5 | $0.5 \times 0.5 = 0.25$ |
| y = 0.9x^2 | 0.9 | $0.9 \times 0.1 = 0.09$ |
Como diferentes caminhos dão limites diferentes, o limite geral não existe.
Conclusão
| Propriedade | Resultado |
|---|
| Limite ao longo de retas | 0 |
| Limite geral \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) | Não existe |
Demonstração Completa:
- ✅ Ao longo de qualquer reta y = mx, para x suficientemente pequeno, f(x,mx) = 0
- ❌ Ao longo de curvas y = kx^2, o limite é k(1-k) \neq 0
Isso prova que existência de limites ao longo de todas as retas não garante existência do limite geral em \mathbb{R}^2. Este é um contraexemplo fundamental em cálculo multivariável.