Seja f : R2 → R2 definida por f(x,y) = (x^2 - y^2) / (x^2 + y^2) se x^2 + y^2 ≠ 0 e f(0,0) = 0. Mostre que lim x→0 lim y→0 f(x,y) = lim y→0 lim x→0 f(x,y)

Análise da Questão de Cálculo Multivariável

Enunciado

Considere a função f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 definida por:

e f(0,0) = 0. Mostre se \lim_{x\to0} \lim_{y\to0} f(x,y) = \lim_{y\to0} \lim_{x\to0} f(x,y)

Desenvolvimento

Este é um exemplo clássico em cálculo multivariável que demonstra que os limites iterados podem não ser iguais, mesmo quando existem individualmente.

Passo 1: Calcular o limite iterado na ordem x depois y

Primeiro calculamos \lim_{y\to0} f(x,y) mantendo x fixo (x \neq 0):

Agora aplicamos o limite externo x\to0:

Passo 2: Calcular o limite iterado na ordem y depois x

Primeiro calculamos \lim_{x\to0} f(x,y) mantendo y fixo (y \neq 0):

Agora aplicamos o limite externo y\to0:

Análise Comparativa

Observações Importantes:

• Os limites iterados NÃO SÃO IGUAIS: $1 \neq -1$
• Isso mostra que a ordem dos limites importa neste caso
• A função não é contínua em (0,0) apesar de estar definida ali
• O limite duplo \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe, pois diferentes caminhos levam a resultados diferentes

Por que isso acontece?

O comportamento da função depende do caminho de aproximação:

• Ao longo do eixo x (y=0): f(x,0) = 1
• Ao longo do eixo y (x=0): f(0,y) = -1
• Ao longo da reta y=x: f(x,x) = 0

Como diferentes trajetórias produzem valores diferentes, o limite duplo não existe.

Conclusão

A afirmação do enunciado está INCORRETA. Na verdade:

ou seja, $1 \neq -1$.

Esta função serve como contraexemplo importante para mostrar que:

• Limites iterados podem existir mas serem distintos
• A existência de limites iterados não garante a existência do limite duplo
• Para garantir continuidade, todos os caminhos devem convergir para o mesmo valor