Seja $f: rbracket ightarrow rbracket$ dada por $f(x) = ext{sen}(x)$. Considere as seguintes afirmações. A função $f(x)$ é uma função par, isto é, $f(-x) = f(x)$, para todo $x$ real. A função $f(x)$ é periódica de período $2 au$. A função $f$ é sobrejetora. $f(0) = 0$, $f( rac{ au}{3}) = rac{ au}{3} ext{ e } f( rac{ au}{2}) = 1$.

Alternativa C

A questão apresenta a função seno f(x) = \sin x e solicita a verificação de quatro propriedades distintas. Analisaremos cada item separadamente para determinar quais são verdadeiros.

Análise Detalhada

Vamos examinar cada afirmação com base nas propriedades fundamentais do ciclo trigonométrico:

• Afirmação 1 (Paridade): Diz que a função é par (f(x) = f(-x)).
• Na verdade, o seno é uma função ímpar, pois \sin(-x) = -\sin(x).
• Portanto, esta afirmação é Falsa.
• Afirmação 2 (Periodicidade): Diz que o período é $2\pi$.
• A função seno completa um ciclo a cada $360^\circ$ ou $2\pi$ radianos.
• Logo, \sin(x + 2\pi) = \sin(x). Esta afirmação é Verdadeira.
• Afirmação 3 (Sobrejeção): Diz que a função é sobrejetora.
• A imagem (conjunto dos valores reais assumidos) do seno é o intervalo [-1, 1].
• Como o contradomínio foi definido como \mathbb{R} (todos os reais), a imagem não cobre todo o contradomínio.
• Assim, ela não é sobrejetora. Esta afirmação é Falsa.
• Afirmação 4 (Valores Específicos): Verifica f(0), f(\frac{\pi}{3}) e f(\frac{\pi}{2}).
• \sin(0) = 0
• \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}
• \sin(\frac{\pi}{2}) = 1
• Todos os cálculos estão corretos. Esta afirmação é Verdadeira.

Conclusão

Com base na análise, apenas as afirmações 2 e 4 são verdadeiras. Isso corresponde à alternativa C.