Alternativa D
Para determinar a propriedade correta da função composta f \circ g no ponto x = -3, precisamos calcular o valor da função e os limites laterais nesse ponto, comparando-os com as opções apresentadas.
A continuidade de uma função exige que o limite seja igual ao valor da função no ponto. Se houver discrepância, a função é descontínua.
Análise Detalhada
Vamos analisar separadamente a função interna g(x) e a função externa f(x) para construir o comportamento do composto.
1. Comportamento de g(x) em torno de x = -3
A função g é definida por partes:
- Para x \leq -3, g(x) = (x+3)^2.
- Para x > -3, g(x) = -x - 6.
Calculamos os valores e limites de g necessários para o argumento de f:
- **Valor em x = -3$**: $g(-3) = (-3+3)^2 = 0.
- Limite pela esquerda (x \to -3^-): g(x) = (x+3)^2. Quando x se aproxima de -3 por valores menores, (x+3)^2 tende a $0$ por valores positivos ($0^+$).
- Limite pela direita (x \to -3^+): g(x) = -x - 6. Quando x se aproxima de -3 por valores maiores, -x - 6 tende a -(-3) - 6 = -3. Como x > -3, o valor de g(x) será menor que -3 (ex: x = -2.9 \Rightarrow g(x) = -3.1). Logo, g(x) \to -3^-.
2. Comportamento de f(x) nos pontos atingidos por g(x)
Observando o gráfico de f:
- Entrada $0$: O gráfico mostra um ponto sólido em (0, -2). Isso significa f(0) = -2.
- Entrada $0^+$ (positivo próximo de zero): Para x > 0, o gráfico é uma reta começando em um círculo vazio em (0, 0). O limite lateral direito é $0$.
- Entrada -3^- (negativo próximo de -3): Para x < -3, o gráfico é uma reta terminando em um ponto sólido em (-3, 0). O limite lateral esquerdo é $0$.
3. Resultado da Composição (f \circ g)(x)
Agora combinamos as informações anteriores:
| Tipo | Limite/Valor | Resultado |
|---|
| Valor | (f \circ g)(-3) = f(g(-3)) = f(0) | -2 |
| Limite Esq. | \lim_{x \to -3^-} f(g(x)) = \lim_{u \to 0^+} f(u) | 0 |
| Limite Dir. | \lim_{x \to -3^+} f(g(x)) = \lim_{u \to -3^-} f(u) | 0 |
Como os limites laterais são iguais ($0$), o limite geral existe: \lim_{x \to -3} (f \circ g)(x) = 0.
Verificação das Alternativas
Com base nos cálculos acima, avaliamos cada opção:
- **A) f \circ g é contínua em x = -3$**: Falso. A continuidade exige $\lim = \text{valor}. Aqui $0 \neq -2$.
- **B) \lim_{x \to -3^-} \dots \neq \lim_{x \to -3^+} \dots$**: Falso. Ambos os limites laterais são iguais a $0.
- **C) \lim_{x \to -3^+} (f \circ g)(x) = -3$**: Falso. O limite lateral direito calculado foi $0.
- **D) \lim_{x \to -3} (f \circ g)(x) \neq (f \circ g)(-3)$**: Verdadeiro. O limite é $0 e o valor é -2, portanto não são iguais.
Conclusão
A única afirmação correta é a que indica que o limite da função composta no ponto difere do valor da função naquele mesmo ponto, caracterizando uma descontinuidade removível.
Alternativa D.