Seja $f(x) = oot 3 ext{of } x^2 ext{ sen}(5x)$. Quanto vale $f'(0)$?

Alternativa A - 0

Para encontrar o valor da derivada f'(0) para a função f(x) = \sqrt[3]{x^2} \text{sen}(5x), utilizamos a definição formal de derivada em um ponto, pois a aplicação direta das regras de derivação (como a regra do produto) pode gerar indeterminações no denominador quando x=0.

Análise Detalhada

1. Definição de Derivada no Ponto:
   A derivada de f em x=0 é definida pelo limite do quociente incremental:
   f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}
2. Cálculo dos Valores Iniciais:
   Primeiro, avaliamos a função em x=0:
   f(0) = \sqrt[3]{0^2} \cdot \text{sen}(5 \cdot 0) = 0 \cdot 0 = 0
3. Substituição na Fórmula do Limite:
   Substituindo na expressão do limite:
   f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt[3]{h^2} \cdot \text{sen}(5h) - 0}{h}
   Reescrevendo a raiz como potência fracionária (\sqrt[3]{h^2} = h^{2/3}):
   f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{h^{2/3} \cdot \text{sen}(5h)}{h}
4. Simplificação e Avaliação:
   Dividimos as potências de h (h^{2/3} / h^1 = h^{2/3 - 1} = h^{-1/3}):
   f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\text{sen}(5h)}{h^{1/3}}

Para resolver este limite, utilizamos a equivalência assintótica para pequenos valores de h: \text{sen}(u) \approx u. Logo, \text{sen}(5h) \approx 5h.
f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{5h}{h^{1/3}}
f'(0) = \lim_{h \to 0} 5 \cdot h^{1 - 1/3}
f'(0) = \lim_{h \to 0} 5 \cdot h^{2/3}

Como $2/3 > 0$, o termo h^{2/3} tende a 0 quando h tende a 0.
f'(0) = 5 \cdot 0 = 0

Conclusão

O termo \text{sen}(5x) anula a singularidade que a raiz cúbica x^{2/3} poderia causar na derivabilidade, tornando a função suave o suficiente para ter uma derivada nula no ponto de contato com o eixo.

Portanto, a alternativa correta é 0.