Seja h(x) = ln(sen x), definida para 0 < x < π/2. Determine o valor da taxa de variação de h(x) em relação a x, no instante x = π/4.

Alternativa D

Para encontrar a taxa de variação de uma função em um ponto específico, devemos calcular o valor da sua derivada nesse instante.

Análise Matemática

1. Identificação da Função:
   Temos a função composta h(x) = \ln(\sin x).
2. Regra da Cadeia:
   Para derivar funções logarítmicas compostas, utilizamos a regra:
   \frac{d}{dx}[\ln(u)] = \frac{u'}{u}
   Onde u = \sin x e u' = (\sin x)' = \cos x.
3. Cálculo da Derivada (h'(x)):
   Aplicando a fórmula acima:
   h'(x) = \frac{\cos x}{\sin x}
   Sabendo que \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x, temos:
   h'(x) = \cot x
4. Substituição do Valor (x = \frac{\pi}{4}):
   Avaliamos a derivada no instante dado:
   h'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cot\left(\frac{\pi}{4}\right)

Lembrando dos valores fundamentais da trigonometria:

• \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}
• \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}

Logo:
\cot\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1

Portanto, a taxa de variação é igual a 1, correspondendo à Alternativa D.