Esta questão envolve o cálculo de somas envolvendo fatoriais, identificação de padrões numéricos e demonstração formal através do método da indução matemática. A solução requer a aplicação cuidadosa das definições de fatorial e manipulação algébrica.
Análise Detalhada
1. Cálculo dos valores iniciais (S_n)
Para resolver o primeiro item, devemos calcular explicitamente o valor de S_n para cada n solicitado, seguindo a definição dada:
S_n = 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + \dots + n \cdot n!
Lembrando que n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1:
- Para n=1:
S_1 = 1 \cdot 1! = 1 \cdot 1 = 1 - Para n=2:
S_2 = S_1 + 2 \cdot 2! = 1 + 2(2) = 1 + 4 = 5 - Para n=3:
S_3 = S_2 + 3 \cdot 3! = 5 + 3(6) = 5 + 18 = 23 - Para n=4:
S_4 = S_3 + 4 \cdot 4! = 23 + 4(24) = 23 + 96 = 119 - Para n=5:
S_5 = S_4 + 5 \cdot 5! = 119 + 5(120) = 119 + 600 = 719
Podemos organizar esses resultados na tabela abaixo para facilitar a visualização do padrão:
| n | Cálculo de S_n | Resultado | Observação |
|---|
| 1 | $1 \cdot 1!$ | 1 | $2! - 1$ |
| 2 | $1 + 4$ | 5 | $3! - 1$ |
| 3 | $5 + 18$ | 23 | $4! - 1$ |
| 4 | $23 + 96$ | 119 | $5! - 1$ |
| 5 | $119 + 600$ | 719 | $6! - 1$ |
2. Estabelecimento da Hipótese
Ao observarmos a coluna "Resultado" e compararmos com os fatoriais, notamos uma relação direta entre o índice n e o resultado:
- Para n=1, o resultado é $1$, que corresponde a $2! - 1$.
- Para n=2, o resultado é $5$, que corresponde a $3! - 1$.
- Para n=3, o resultado é $23$, que corresponde a $4! - 1$.
O padrão sugere que o termo resultante é sempre o fatorial do próximo número menos 1. Portanto, a hipótese para a fórmula geral é:
S_n = (n+1)! - 1
3. Demonstração por Indução Matemática
Para provar que essa fórmula é válida para todo inteiro positivo n, utilizaremos o método da indução matemática.
Passo 1: Base da Indução (n=1)
Verificamos se a fórmula funciona para o primeiro caso.
Pela definição: S_1 = 1.
Pela fórmula hipotética: (1+1)! - 1 = 2! - 1 = 2 - 1 = 1.
Como ambos os valores são iguais, a base está provada.
Passo 2: Hipótese de Indução
Suponhamos que a fórmula seja verdadeira para um determinado inteiro k \geq 1. Ou seja:
S_k = (k+1)! - 1
Passo 3: Passo Indutivo
Devemos provar que a fórmula também vale para k+1. Pela definição da sequência:
S_{k+1} = S_k + (k+1)(k+1)!
Substituindo a hipótese de indução (S_k) na equação acima:
S_{k+1} = [(k+1)! - 1] + (k+1)(k+1)!
Agora, vamos agrupar os termos que contêm (k+1)!:
S_{k+1} = (k+1)! \cdot [1 + (k+1)] - 1
S_{k+1} = (k+1)! \cdot (k+2) - 1
Sabendo que (k+1)! \cdot (k+2) = (k+2)!, temos finalmente:
S_{k+1} = (k+2)! - 1
S_{k+1} = ((k+1)+1)! - 1
Isso confirma que a fórmula se mantém válida para k+1.
Conclusão
A fórmula correta que expressa S_n em termos de n é:
S_n = (n+1)! - 1