Seja um circuito com corrente y. Sua equação diferencial é dada por: y' + 12xy = 0. Determine por meio da Transformada de Fourier a corrente y quando C = √2π e f(x) = e⁻ᵃˣ².

Question

Seja um circuito com corrente y. Sua equação diferencial é dada por: y' + 12xy = 0. Determine por meio da Transformada de Fourier a corrente y quando C = √2π e f(x) = e⁻ᵃˣ². A) ke⁻⁶ˣ² B) e⁻⁶ˣ² C) 120e⁻⁶ˣ² D) 384e⁻⁶ˣ²

Sapien IA · Accepted Answer

Alternativa B $ e^{ 6x^2} $ Introdução A questão envolve a resolução de uma equação diferencial linear de primeira ordem usando propriedades da Transformada de Fourier, com foco em identificar a solução para a corrente $ y(x) $. Desenvolvimento A equação diferencial dada é $ y' + 12xy = 0 $. Para encontrar sua solução, consideramos uma função exponencial $ y(x) = e^{ \alpha x^2} $, com $ \alpha $ constante. Calculando a derivada de $ y(x) $: $ y' = 2\alpha x e^{ \alpha x^2} $. Substituindo $ y $ e $ y' $ na equação diferencial: $ 2\alpha x e^{ \alpha x^2} + 12x e^{ \alpha x^2} = 0 $. Simplificando, obtemos $ (12 2\alpha) x e^{ \alpha x^2} = 0 $. Para essa igualdade valer para todos $ x $, o coeficiente $ 12 2\alpha $ deve ser zero. Assim, $ 12 2\alpha = 0 $ implica $ \alpha = 6 $. Portanto, a solução é $ y(x) = e^{ 6x^2} $. Análise As alternativas propostas incluem $ e^{ 6x^2} $, que corresponde à solução encontrada. As demais alternativas (A, C, D) possuem coeficientes constantes (120, 384) que não foram comprovados na resolução. Conclusão A solução da equação diferencial $ y' + 12xy = 0 $ é $ y(x) = e^{ 6x^2} $, portanto a alternativa correta é B .

Explicação passo a passo

Introdução

Desenvolvimento

Análise

Conclusão

Mais questões de Matemática — Cálculo

Tem outra questão de Matemática — Cálculo?