Sejam f e g duas funções reais, com domínio em um intervalo (a, b) e contínuas em (a, b). Se lim f(x) = lim g(x), x→x₀ x→x₀ para todo x₀ em (a, b), então f(x) = g(x) para todo x ∈ (a, b).

Alternativa Verdadeiro

O enunciado descreve uma consequência direta da definição de continuidade de uma função. Para determinar se a afirmação é verdadeira ou falsa, precisamos conectar a propriedade dos limites com a definição formal de continuidade.

Desenvolvimento

1. Definição de Continuidade: Uma função f é dita contínua em um ponto x_0 se, e somente se, o limite da função quando x tende a x_0 for igual ao valor da função nesse ponto. Matematicamente:
   \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)
2. Aplicação ao Enunciado: O problema estabelece duas condições importantes:

• As funções f e g são contínuas no intervalo (a, b).
• Os limites são iguais para todo x_0 nesse intervalo:
  \lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x)

1. Substituição Lógica: Devido à continuidade, podemos substituir os limites pelos valores das funções diretamente na equação dada. Assim:
   f(x_0) = g(x_0)
2. Conclusão: Como essa igualdade vale para qualquer ponto x_0 escolhido no intervalo, concluímos que as funções são idênticas em todo o domínio.

Análise

• Papel da Continuidade: Sem a condição de que f e g são contínuas, a afirmação seria falsa. Por exemplo, se houvesse uma descontinuidade removível onde o limite existe mas não coincide com o valor da função, a igualdade dos limites não implicaria a igualdade dos valores.
• Igualdade de Limites vs. Igualdade de Funções: Geralmente, ter limites iguais não significa que as funções são iguais (podem diferir apenas em pontos isolados). Porém, a continuidade garante que não há "buracos" ou saltos, forçando a igualdade em todos os pontos.
• Identidade Funcional: Quando duas funções contínuas têm os mesmos limites em todos os pontos de um intervalo aberto, elas são, por definição, a mesma função nesse intervalo.

Portanto, a lógica matemática confirma que a afirmação está correta.