Sendo f(x) = sec(x) + cossec²(x), o valor de f(π/3) é?

O valor da função f(\frac{\pi}{3}) é igual a \frac{10}{3}.

Este exercício envolve a avaliação de uma função trigonométrica composta por secante e cossecante ao quadrado. Para resolvê-lo, é necessário substituir o ângulo na função e utilizar os valores exatos das funções seno e cosseno para \frac{\pi}{3} (que equivale a $60^\circ$).

Análise

Vamos calcular cada termo da função passo a passo:

• Substituição inicial:
  Substituindo x = \frac{\pi}{3} na expressão:
  f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sec\left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos\text{sec}^2\left(\frac{\pi}{3}\right)
• Cálculo do termo \sec(\frac{\pi}{3}):
  A secante é o inverso do cosseno (\sec x = \frac{1}{\cos x}).
  Sabemos que \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}.
  Portanto:
  \sec\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{1/2} = 2
• Cálculo do termo \cos\text{sec}^2(\frac{\pi}{3}):
  A cossecante é o inverso do seno (\cos\text{sec } x = \frac{1}{\sin x}).
  Sabemos que \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}.
  Primeiro calculamos a cossecante:
  \cos\text{sec}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}/2} = \frac{2}{\sqrt{3}}
  Em seguida, elevamos ao quadrado:
  \cos\text{sec}^2\left(\frac{\pi}{3}\right) = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{4}{3}
• Somatória final:
  Juntando os dois resultados calculados:
  f\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 + \frac{4}{3}
  Para somar, colocamos 2 com denominador comum:
  2 = \frac{6}{3}
  f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{6}{3} + \frac{4}{3} = \frac{10}{3}

Portanto, o resultado final da avaliação da função é \frac{10}{3}.