Sendo R o retângulo 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, o valor da ∫∫R y cos(xy) dxdy é dado por

Alternativa A (com ressalvas sobre possível erro de enunciado)

A questão apresentada possui uma inconsistência matemática entre a função proposta e as alternativas de resposta fornecidas. Abaixo, explico o cálculo rigoroso da função escrita e a hipótese do erro que leva à resposta correta esperada.

Análise Matemática

A integral solicitada é:
I = \iint_R y \cos(xy) \, dx \, dy
Com limites $1 \leq x \leq 2$ e $0 \leq y \leq 1$.

Passo 1: Integração em relação a x

Tratando y como constante:
\int_{1}^{2} y \cos(xy) \, dx = \Big[ \sin(xy) \Big]_{x=1}^{x=2} = \sin(2y) - \sin(y)

Passo 2: Integração em relação a y

Agora integramos o resultado anterior de $0$ a $1$:
I = \int_{0}^{1} (\sin(2y) - \sin(y)) \, dy
I = \left[ -\frac{1}{2}\cos(2y) + \cos(y) \right]_{0}^{1}
I = \left( -\frac{1}{2}\cos(2) + \cos(1) \right) - \left( -\frac{1}{2} + 1 \right)
I = \cos(1) - \frac{1}{2}\cos(2) - \frac{1}{2} \approx 0,248

Este resultado é um número transcendental (envolve funções trigonométricas de números irracionais), enquanto todas as alternativas são racionais (frações simples).

Hipótese do Erno no Enunciado

Em questões de cálculo de múltipla escolha com esse perfil de respostas, é comum que a função tenha sido alterada erroneamente durante a transcrição ou impressão. A combinação de limites [1, 2] e [0, 1] com a resposta \frac{3}{4} sugere fortemente que a função original era $x \cdot y$ (sem o cosseno).

Vamos calcular para a função f(x, y) = xy:

1. Integração interna (y):
   \int_{0}^{1} xy \, dy = x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{x}{2}
2. Integração externa (x):
   \int_{1}^{2} \frac{x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = \frac{1}{4} (2^2 - 1^2) = \frac{3}{4}

Conclusão

Embora o enunciado escrito leve a um resultado incompatível com as opções, a estrutura do problema indica que a alternativa A é a resposta pretendida pela banca, assumindo-se que a função fosse xy ou similar que gerasse um polinômio.

Resposta Final: Alternativa A