Simplifique a expressão: $\log_2 \sqrt{\frac{4a\sqrt{ab}}{b^3 \sqrt[3]{a^2b}}}$

Introdução

A expressão envolve logaritmos e radiciação. O objetivo é simplificar usando propriedades de expoentes e logaritmos.

Desenvolvimento

Passo 1: Converter raízes em potências:

• \sqrt{\frac{4a\sqrt{ab}}{b^3 \sqrt[3]{a^2b}}} = \left( \frac{4a\sqrt{ab}}{b^3 \sqrt[3]{a^2b}} \right)^{1/2}
• \sqrt{ab} = (ab)^{1/2}
• \sqrt[3]{a^2b} = (a^2b)^{1/3}

Passo 2: Substituir na fração:
\frac{4a (ab)^{1/2}}{b^3 (a^2b)^{1/3}}

Passo 3: Simplificar expoentes:

• Numerador: $4a \cdot a^{1/2} b^{1/2} = 4 a^{3/2} b^{1/2}$
• Denominador: b^3 \cdot a^{2/3} b^{1/3} = a^{2/3} b^{10/3}

Passo 4: Dividir expoentes:
\frac{4 a^{3/2} b^{1/2}}{a^{2/3} b^{10/3}} = 4 a^{3/2 - 2/3} b^{1/2 - 10/3} = 4 a^{5/6} b^{-13/6}

Passo 5: Aplicar a raiz quadrada (expoente 1/2):
\left(4 a^{5/6} b^{-13/6}\right)^{1/2} = 4^{1/2} a^{5/12} b^{-13/12} = 2 a^{5/12} b^{-13/12}

Passo 6: Aplicar o logaritmo:
\log_2 \left(2 a^{5/12} b^{-13/12}\right) = \log_2 2 + \log_2 a^{5/12} + \log_2 b^{-13/12}
= 1 + \frac{5}{12} \log_2 a - \frac{13}{12} \log_2 b

Análise

• Propriedades de expoentes: x^m \cdot x^n = x^{m+n}, \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}
• Propriedades de logaritmos: \log_b (xy) = \log_b x + \log_b y, \log_b (x^p) = p \cdot \log_b x
• Resultado: $1 + \frac{5}{12} \log_2 a - \frac{13}{12} \log_2 b$

Conclusão

A expressão simplificada é $1 + \frac{5}{12} \log_2 a - \frac{13}{12} \log_2 b$.