Simplifique. Reescreva a expressão na forma \[k\cdot y^n\]. \[\left(2y^4\right)^3=\]

Resposta: A expressão simplificada é 8y^{12}

Esta questão envolve a aplicação das propriedades fundamentais de potenciação para simplificar uma monômio elevado a um expoente.

Análise Detalhada

Para resolver \left(2y^4\right)^3, devemos aplicar duas regras principais de potências:

• Potência de um produto: Quando um produto está entre parênteses elevado a um expoente, cada fator é elevado a esse expoente.
  (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n
• Potência de uma potência: Quando uma potência já possui um expoente e é elevada a outro expoente, multiplicam-se os expoentes.
  (x^a)^b = x^{a \cdot b}

Passo a Passo do Cálculo

1. Separar os fatores: Aplicamos a regra da potência do produto à expressão original.
   \left(2 \cdot y^4\right)^3 = 2^3 \cdot \left(y^4\right)^3
2. Calcular a potência do coeficiente: Elevamos o número 2 ao cubo.
   2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8
3. Calcular a potência da variável: Multiplicamos os expoentes da variável y.
   \left(y^4\right)^3 = y^{4 \cdot 3} = y^{12}
4. Combinar os resultados: Juntamos o coeficiente calculado com a variável simplificada.
   8 \cdot y^{12} = 8y^{12}

Verificação Final

A expressão na forma solicitada k \cdot y^n é $8y^{12}$.