Sobre a forma tabular da integral por partes, analise as afirmações abaixo: O acróstico LIATE pode ser utilizado. II. A coluna de u deve ser derivada até obtermos um valor nulo. III. A coluna de dv deve ser integrada até obtermos um valor nulo. Quais afirmações são verdadeiras?

Alternativa A - I e II

Introdução

A questão envolve a aplicação da técnica de integração por partes e a avaliação de três afirmações sobre sua forma tabular.

Desenvolvimento

A integração por partes segue a fórmula \int u \, dv = uv - \int v \, du. Para escolher u e dv, é comum usar o acróstico LIATE (Logarítmica, Inversa trigonométrica, Algebraica, Trigonométrica, Exponencial) como regra prática. Além disso, o processo de derivação de u e integração de dv em tabela geralmente para quando a derivada de u se anula, pois a integral resultante se simplifica.

Análise

• Afirmação I: Verdadeira. O acróstico LIATE é amplamente utilizado para selecionar u de forma sistemática, priorizando funções que se anulam após derivadas consecutivas.
• Afirmação II: Verdadeira. A coluna de u é derivada repetidamente até que seu valor se torne nulo. Isso ocorre porque, ao anular u, a integral \int v \, du se torna mais simples de resolver.
• Afirmação III: Falsa. A coluna de dv é integrada apenas uma vez para obter v; não é necessário continuá-la até que dv se anule, pois isso não simplifica a expressão.

Conclusão

Somente as afirmações I e II são verdadeiras.

Alternativa A.