Sobre a função de R* definida por f(x)=x+1/x², podemos afirmar que:

Alternativa D

Para determinar o comportamento da função f(x) = x + \frac{1}{x^2} quanto às suas assíntotas, devemos analisar os limites quando x tende aos pontos de descontinuidade e ao infinito.

Análise da Função

Primeiro, identificamos o domínio da função. Como há divisão por x^2, o valor x não pode ser zero.

• Domínio: \mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\}.

1. Assíntotas Verticais

As assíntotas verticais ocorrem onde a função tende ao infinito. Analisamos o limite quando x se aproxima de 0:
\lim_{x \to 0} \left( x + \frac{1}{x^2} \right)
Como x \to 0 e \frac{1}{x^2} \to +\infty, temos:
\lim_{x \to 0} f(x) = +\infty
Portanto, existe uma assíntota vertical na reta x = 0 (eixo Y).

2. Assíntotas Oblíquas (Inclinadas)

Para verificar assíntotas inclinadas, analisamos o comportamento quando x \to \pm\infty. O termo linear x domina o termo racional \frac{1}{x^2}.
Calculando o coeficiente angular a:
a = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x + \frac{1}{x^2}}{x} = \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x^3} \right) = 1
Calculando o coeficiente linear b:
b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - ax) = \lim_{x \to \infty} \left( x + \frac{1}{x^2} - 1 \cdot x \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0
A equação da reta é y = ax + b, logo y = 1x + 0, ou seja, $y = x$.
Como o resultado é o mesmo para x \to -\infty, existe apenas uma assíntota inclinada comum aos dois sentidos.

Verificação das Alternativas

Com base na análise acima, resumimos o número de assíntotas encontradas:

Agora, avaliamos as opções do enunciado:

• (A) Incorreta. A função possui assíntotas.
• (B) Incorreta. Existem duas assíntotas distintas (uma vertical e uma inclinada), não apenas uma única.
• (C) Incorreta. Existe apenas uma assíntota vertical (x=0).
• (D) Correta. A função possui exatamente uma reta que atua como assíntota inclinada (y=x).
• (E) Incorreta. Não existem duas assíntotas inclinadas diferentes; é a mesma reta y=x para ambos os infinitos.

Conclusão

A função apresenta um conjunto de assíntotas composto por uma vertical e uma inclinada. A alternativa correta é aquela que afirma corretamente a existência de apenas uma assíntota inclinada.

Alternativa D