Suponha que você está analisando o trabalho realizado por uma força variável ao mover um objeto ao longo de um trilho retilíneo. Imagine um vagão sendo puxado por um cabo em um sistema de transporte industrial. A força aplicada pelo cabo varia conforme a posição x do vagão e é dada por: F(x) = 3x² a direção do movimento (eixo x). O eixo x representa a distância percorrida pelo vagão ao longo do trilho, medida em metros. O trabalho W realizado pela força ao mover o vagão de x=1 metro até x=4 metros é dado pela integral: W = ∫₁⁴ F(x) ⋅ dx Com base na resolução da integral, assinale a alternativa correta para o trabalho realizado:

Alternativa C

O problema solicita o cálculo do trabalho realizado por uma força variável, definido matematicamente pela integral definida da função força em relação ao deslocamento.

Para encontrar o valor correto, precisamos resolver a integral apresentada no enunciado seguindo as regras básicas do cálculo integral.

Análise do Problema

A função da força é dada por:
F(x) = 3x^2

O trabalho W é calculado pela integral entre os limites x=1 e x=4:
W = \int_{1}^{4} 3x^2 \, dx

Vamos resolver passo a passo:

• Passo 1: Encontrar a primitiva da função
  A regra de integração para potências é \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}.
  Aplicando isso a $3x^2$, temos:
  \int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3
• Passo 2: Avaliar nos limites de integração
  Substituímos o limite superior ($4$) e o limite inferior ($1$) na primitiva encontrada:
  W = [x^3]_{1}^{4}
• Passo 3: Realizar a subtração
  Calculamos o valor da primitiva no ponto final menos o valor no ponto inicial:
  W = (4^3) - (1^3)
  W = 64 - 1
  W = 63

Como a distância está em metros e a força (implícita) resulta em Newtons, a unidade de trabalho é o Joule.

Portanto, o trabalho realizado é de 63 joules, correspondendo à alternativa C.