Suponha que você está analisando o trabalho realizado por uma força variável ao mover um objeto ao longo do trilho retilíneo. Imagine uma vagão sendo puxado por um cabo em um sistema de transporte industrial. A força aplicada pelo cabo varia conforme a posição x do vagão e é dada por: F(x) = 3x². O eixo x representa a distância percorrida pelo vagão ao longo do trilho, medida em metros. O trabalho W realizado pela força ao mover o vagão de x=1 metro até x=4 metros é dado pela integral: W = ∫[1,4] F(x) dx Com base na resolução da integral, assinale a alternativa correta para o trabalho realizado:

Para resolver esta questão de cálculo, precisamos aplicar o conceito de integral definida para encontrar o valor exato do trabalho realizado pela força.

A questão apresenta o cálculo do trabalho (W) feito por uma força variável F(x) = 3x^2, atuando no deslocamento do ponto x=1 até x=4.

Análise Matemática

O cálculo envolve três etapas principais: identificar a primitiva, aplicar os limites de integração e realizar a subtração aritmética.

• Passo 1: Encontrar a Primitiva
  Utilizamos a regra da potência para integrar a função $3x^2$. A regra geral é:
  \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
  Aplicando isso à nossa função (n=2):
  \int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3
  Portanto, a primitiva de $3x^2$ é simplesmente x^3.
• Passo 2: Aplicar os Limites de Integração
  Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo (ou Método de Barrow), avaliando a primitiva no limite superior (b=4) e no limite inferior (a=1):
  W = \left[ x^3 \right]_{1}^{4}
  W = (4)^3 - (1)^3
• Passo 3: Cálculo Final
  Realizamos as potências e a subtração:
  4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64
  1^3 = 1 \times 1 \times 1 = 1
  W = 64 - 1 = 63

O resultado é 63. No Sistema Internacional, se a força for medida em Newtons e a distância em metros, a unidade de trabalho será o Joule.

Conclusão

A alternativa correta é a C, pois o cálculo da integral definida resulta exatamente em 63.

Alternativa C - O trabalho é de 63 joules