Suponha que você está projetando um reservatório de água com formato parabólico. O reservatório é modelado pela função z=f(x,y), onde f(x,y) = 4 - x² - y². A base do reservatório no plano xy é um círculo de raio 2 metros, centrado na origem. A função f(x,y) representa a altura do reservatório em cada ponto (x,y) da base. Para determinar a capacidade total do reservatório, é necessário calcular o volume abaixo da superfície z=f(x,y) e acima da região circular R no plano xy. V = ∬R f(x,y) dA. Com base na resolução da integral dupla, assinale a alternativa correta:

Alternativa A - O volume é $8\pi$ metros cúbicos.

Para encontrar o volume do reservatório, precisamos calcular a integral dupla da função da superfície sobre a região da base. Vamos seguir os passos sugeridos pelo enunciado, utilizando coordenadas polares.

Análise Detalhada

1. Entendendo o Problema

O volume V é dado pela área sob a superfície z = f(x,y) acima da região R no plano xy.

• Função: f(x,y) = 4 - x^2 - y^2
• Região (R): Um círculo de raio $2$ centrado na origem.

2. Conversão para Coordenadas Polares

Como a região é circular e a função envolve x^2 + y^2, usamos coordenadas polares para simplificar o cálculo. As relações são:

• x^2 + y^2 = r^2
• dA = r \cdot dr \cdot d\theta (não esqueça do fator r!)
• Limites de r: De $0$ até o raio do círculo ($2$).
• Limites de \theta: De $0$ até $2\pi$ (giro completo).

Substituindo na função:
f(r, \theta) = 4 - (x^2 + y^2) = 4 - r^2

3. Montando a Integral Dupla

A fórmula do volume em coordenadas polares fica:
V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} (4 - r^2) \cdot r \, dr \, d\theta

Distribuímos o r dentro do parêntese:
V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} (4r - r^3) \, dr \, d\theta

4. Resolvendo a Integral

Primeiro, integramos em relação a r:
\int_{0}^{2} (4r - r^3) \, dr = \left[ 2r^2 - \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{2}

Aplicando os limites ($2$ e $0$):
= \left( 2(2)^2 - \frac{2^4}{4} \right) - (0)
= \left( 2 \cdot 4 - \frac{16}{4} \right)
= 8 - 4 = 4

Agora, integramos o resultado em relação a \theta:
V = \int_{0}^{2\pi} 4 \, d\theta
= 4 \cdot [\theta]_{0}^{2\pi}
= 4 \cdot (2\pi - 0)
= 8\pi

Portanto, o volume total do reservatório é $8\pi$ metros cúbicos.