Suponha que você precisa maximizar a eficiência de um sistema térmico, cuja eficiência E(x,y) é modelada pela função: E(x,y) = -x² - y² + 4x + 6y - 5, onde x e y representam parâmetros de ajuste do sistema, medidos em unidades específicas. Para maximizar a eficiência, é necessário identificar e classificar os pontos críticos da função. Com base no teste da segunda derivada, assinale a alternativa correta:

Alternativa C - A função possui um ponto de máximo local em (2,3).

Para resolver esta questão de cálculo multivariável, precisamos encontrar os pontos críticos da função dada e utilizá-los para determinar se são máximos, mínimos ou pontos de sela. O processo envolve derivadas parciais e o teste do discriminante (determinante da matriz Hessiana).

Análise Matemática

O problema fornece a função de eficiência:
E(x,y) = -x^2 - y^2 + 4x + 6y - 5

Precisamos seguir três etapas principais para classificar o ponto crítico.

1. Encontrar os Pontos Críticos

Os pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais de primeira ordem são iguais a zero.

• Derivada em relação a x:
  E_x = -2x + 4
• Derivada em relação a y:
  E_y = -2y + 6

Igualando a zero para encontrar x e y:

• -2x + 4 = 0 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow \mathbf{x = 2}
• -2y + 6 = 0 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow \mathbf{y = 3}

Portanto, o ponto crítico é $P(2, 3)$.

2. Calcular as Derivadas Parciais de Segunda Ordem

Agora calculamos as segundas derivadas necessárias para o teste do discriminante D.

• E_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(-2x + 4) = \mathbf{-2}
• E_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(-2y + 6) = \mathbf{-2}
• E_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(-2x + 4) = \mathbf{0}

(Nota: Embora a imagem contenha uma pequena imprecisão na fórmula do determinante com (f_{xy})^3, a fórmula padrão correta é ao quadrado. Como f_{xy} = 0, o resultado final não se altera).

3. Calcular o Discriminante (D) e Classificar

O determinante D é dado por:
D = E_{xx} \cdot E_{yy} - (E_{xy})^2
Substituindo os valores encontrados:
D = (-2) \cdot (-2) - (0)^2
D = 4

Com D = 4 e E_{xx} = -2, aplicamos as regras fornecidas no enunciado:

• Condição: D > 0 e f_{xx} < 0.
• Conclusão: O ponto é um máximo local.

Resumo da Classificação

Isso confirma que a alternativa correta descreve a existência de um ponto de máximo local nas coordenadas encontradas.

Alternativa C.