Suponha que você precisa otimizar o custo de produção de um componente estrutural, cujo custo total C(x,y) é modelado pela função: C(x,y) = x² + y² - 4x - 6y + 10 onde x e y representam as quantidades de dois insumos utilizados na fabricação, medidos em toneladas. Para minimizar o custo, é necessário identificar e classificar os pontos críticos da função. Lembrando que para classificar os pontos críticos de uma função devemos fazer: Para P(a,b) com f_xx(a,b) = 0 e f_yy(a,b) = 0. Seja o determinante D = f_xx f_yy - f_xy² Se D > 0 e f_xx(a,b) > 0, então P é mínimo local. Se D > 0 e f_xx(a,b) < 0, então P é máximo local. Se D < 0, então P é ponto de sela. Se D = 0, nada podemos afirmar. Com base no teste da segunda derivada, assinale a alternativa correta:

Para resolver esta questão de otimização multivariada, precisamos seguir o método clássico de análise de pontos críticos utilizando as derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Análise Detalhada

1. Encontrar os Pontos Críticos

Os pontos críticos ocorrem quando todas as derivadas parciais de primeira ordem são iguais a zero. Dada a função custo:
C(x,y) = x^2 + y^2 - 4x - 6y + 10

Calculamos as derivadas parciais em relação a x e y:

• Derivada em relação a x: C_x = 2x - 4
• Derivada em relação a y: C_y = 2y - 6

Igualamos as derivadas a zero para encontrar as coordenadas do ponto crítico:

• $2x - 4 = 0 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$
• $2y - 6 = 0 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3$

Portanto, o ponto crítico encontrado é $(2,3)$. Isso já nos indica que a alternativa D está incorreta.

2. Calcular as Derivadas Parciais de Segunda Ordem

Para aplicar o teste da segunda derivada, precisamos das derivadas segundas avaliadas no ponto crítico (2,3):

• C_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(2x - 4) = 2
• C_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(2y - 6) = 2
• C_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(2x - 4) = 0

3. Calcular o Determinante D

Utilizamos a fórmula fornecida no enunciado:
D = f_{xx} \cdot f_{yy} - (f_{xy})^2

Substituindo os valores encontrados:
D = (2) \cdot (2) - (0)^2
D = 4 - 0 = 4

Como D = 4, temos que $D > 0$.

4. Classificar o Ponto Crítico

Comparamos o resultado de D e o valor de C_{xx} com as regras dadas na questão:

Como D é positivo e a derivada segunda em relação a x (C_{xx}) também é positiva ($2 > 0$), o ponto (2,3) corresponde a um mínimo local.

Conclusão

A função possui um ponto de mínimo local em (2,3), o que confirma a alternativa A.

Alternativa A