Suponha você precisa otimizar a eficiência de um sistema térmico, cuja eficiência E(x,y) é modelada pela função: E(x,y) = −x² − y² + 4x + 6y − 5 onde x e y representam parâmetros de ajuste do sistema, medidos em unidades específicas. Para maximizar a eficiência, é necessário identificar e classificar os pontos críticos da função. Lembrando que para classificar os pontos críticos de uma função devemos fazer: Para P(a,b) com fx(a,b) = 0 e fy(a,b) = 0. Seja o determinante D = | fxxy fxy | | fyx fyy | Se D > 0 e fxx(a,b) > 0, então P é mínimo local. Se D > 0 e fxx(a,b) < 0, então P é máximo local. Se D < 0, então P é ponto de sela. Se D = 0, nada podemos afirmar. Com base no teste da segunda derivada, assinale a alternativa correta:

Alternativa C

O objetivo desta questão é encontrar e classificar os pontos críticos da função de eficiência E(x, y) utilizando o teste da segunda derivada. Vamos resolver passo a passo seguindo as regras fornecidas no enunciado.

Desenvolvimento do Problema

Primeiro, precisamos encontrar as coordenadas do ponto crítico (a, b). Para isso, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem em relação a x e a y e as igualamos a zero.

A função dada é:
E(x, y) = -x^2 - y^2 + 4x + 6y - 5

1. Cálculo das Derivadas Parciais:

• Derivada em relação a x:
  f_x = \frac{\partial E}{\partial x} = -2x + 4
• Derivada em relação a y:
  f_y = \frac{\partial E}{\partial y} = -2y + 6

2. Encontrando o Ponto Crítico:
Igualamos as derivadas a zero para encontrar os valores de x e y:

• -2x + 4 = 0 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2
• -2y + 6 = 0 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3

Portanto, o ponto crítico é $P(2, 3)$. Isso já nos ajuda a descartar a alternativa que diz não haver pontos críticos.

Análise

Agora, aplicamos o teste da segunda derivada para classificar esse ponto. Calculamos as derivadas de segunda ordem necessárias para formar o determinante D.

1. Derivadas de Segunda Ordem:

• f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(-2x + 4) = -2
• f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(-2y + 6) = -2
• f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(-2x + 4) = 0

2. Cálculo do Determinante (D):
Usando a fórmula apresentada na imagem:
D = f_{xx} \cdot f_{yy} - (f_{xy})^2
Substituindo os valores encontrados:
D = (-2) \cdot (-2) - (0)^2
D = 4 - 0 = 4

3. Classificação do Ponto:
Analisamos os resultados com base nas condições dadas no enunciado:

• O valor de D é $4$, que é maior que $0$ (D > 0). Isso indica que existe um extremo local (máximo ou mínimo).
• Verificamos o sinal de f_{xx} no ponto encontrado: f_{xx} = -2.
• Como f_{xx} < 0, a concavidade da função é voltada para baixo.

De acordo com a regra citada: "Se D>0 e f_{xx}(a,b) < 0, então P é máximo local."

Conclusão

Com base nos cálculos realizados, a função possui um ponto de máximo local nas coordenadas (2, 3). Portanto, a alternativa correta é a C.