The value of the integral $\int_1^2 [\ln(x)]^2 dx$ is

Alternativa C

A questão solicita o cálculo da integral definida:

Para resolver esta integral, utilizamos o método de substituição simples (mudança de variável).

Análise do Problema

1. Definição da variável auxiliar:
   Seja u = \ln(x).
2. Diferenciação:
   Derivando em relação a x, temos que du = \frac{1}{x} dx.
   Isso nos permite substituir diretamente o termo \frac{dx}{x} por du.
3. Mudança dos limites de integração:

• Para o limite inferior (x = 1): u = \ln(1) = 0.
• Para o limite superior (x = 2): u = \ln(2).

1. Reescrita da integral:
   Substituindo as variáveis e os limites, a integral torna-se:
   I = \int_0^{\ln(2)} u^2 du
2. Cálculo da integral:
   Aplicando a regra da potência (\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1}):
   I = \left[ \frac{u^3}{3} \right]_0^{\ln(2)}
3. Aplicação dos limites:
   I = \frac{[\ln(2)]^3}{3} - \frac{0^3}{3}
   I = \frac{[\ln(2)]^3}{3}

Este resultado coincide exatamente com a expressão apresentada na opção (c).