Resolução Detalhada
Esta é uma questão de Integração Definida aplicada a problemas geométricos e financeiros. O desafio principal reside na interpretação correta das unidades de medida.
1. Cálculo da Área (Integral Definida)
Primeiro, precisamos calcular a área sob a curva usando a integral definida no intervalo dado. A fórmula da área A é:
A = \int_{a}^{b} f(x) \, dx
Substituindo os dados do problema (f(x) = x^2 + 5, a = 0, b = 1):
A = \int_{0}^{1} (x^2 + 5) \, dx
Calculando a primitiva:
A = \left[ \frac{x^3}{3} + 5x \right]_{0}^{1}
Aplicando os limites de integração:
A = \left( \frac{1^3}{3} + 5(1) \right) - \left( \frac{0^3}{3} + 5(0) \right)
A = \frac{1}{3} + 5 = \frac{1}{3} + \frac{15}{3} = \frac{16}{3}
O valor obtido é \frac{16}{3} (aproximadamente $5,33$).
2. Conversão de Unidades (Ponto Crítico)
O enunciado afirma que x e y estão em centenas de metros. Isso altera drasticamente o resultado físico da área.
- A unidade de comprimento é: $1 \text{ unidade} = 100 \text{ metros}$.
- A unidade de área usada na integral é: $1 \text{ unidade}^2 = (100 \text{ metros}) \times (100 \text{ metros}) = 10.000 \text{ m}^2$.
Portanto, devemos multiplicar o resultado da integral por $10.000$ para obter a área real em metros quadrados (m^2):
\text{Área Real} = \frac{16}{3} \times 10.000 = \frac{160.000}{3} \, m^2
3. Cálculo do Custo Total
Sabendo que o preço do terreno é de R$ 15,00 por metro quadrado, calculamos o custo total:
\text{Custo Total} = \text{Área Real} \times \text{Preço Unitário}
\text{Custo Total} = \frac{160.000}{3} \times 15
Simplificando a conta (dividindo 15 por 3):
\text{Custo Total} = 160.000 \times 5 = 800.000
O custo total do terreno é R$ 800.000,00.
4. Investimento Individual
Por fim, dividimos o custo total entre os três engenheiros:
\text{Investimento Individual} = \frac{\text{Custo Total}}{3}
\text{Investimento Individual} = \frac{800.000}{3}
\text{Investimento Individual} \approx 266.666,67
Conclusão
Cada engenheiro precisou investir aproximadamente R$ 266.666,67.