Três tipos importantes de funções são as injetoras, sobrejetoras e bijetoras. Essas classificações são cruciais para compreender como as funções se comportam em termos de mapeamento de elementos. Considere uma função f:R→R, onde f(x)=2x+1. Qual das seguintes afirmações é verdadeira sobre essa função?

Alternativa C - A função f é injetora e sobrejetora.

Para determinar as propriedades da função f(x) = 2x + 1 com domínio e contradomínio nos reais (\mathbb{R} \to \mathbb{R}), precisamos analisar se ela é injetora e/ou sobrejetora.

Análise Detalhada

Vamos verificar cada propriedade separadamente:

• Injetividade (Injetora)
• Uma função é injetora quando elementos distintos do domínio possuem imagens distintas no contradomínio. Ou seja, se f(x_1) = f(x_2), então obrigatoriamente x_1 = x_2.
• Aplicando à nossa função:
  f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow 2x_1 + 1 = 2x_2 + 1
  Subtraindo 1 em ambos os lados:
  2x_1 = 2x_2
  Dividindo por 2:
  x_1 = x_2
• Como concluímos que x_1 = x_2, a função é injetora. Graficamente, isso significa que qualquer linha horizontal corta o gráfico de reta apenas uma vez.
• Sobrejetividade (Sobrejetora)
• Uma função é sobrejetora quando todo elemento do contradomínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio. Em outras palavras, o Imagem da função deve ser igual ao Contradomínio (Im(f) = C).
• Para verificar, pegamos um valor arbitrário y no contradomínio (\mathbb{R}) e vemos se conseguimos encontrar um x no domínio tal que f(x) = y.
• Resolvendo para x:
  y = 2x + 1
  y - 1 = 2x
  x = \frac{y - 1}{2}
• Como y é um número real, \frac{y - 1}{2} também é um número real. Isso significa que para qualquer saída desejada no \mathbb{R}, existe um x correspondente. Logo, a função é sobrejetora.

Conclusão:

Como a função possui ambas as propriedades, ela é simultaneamente injetora e sobrejetora. Na terminologia matemática, isso também a classifica como uma função bijetora.

Portanto, a alternativa correta é a C.