Um aplicativo de celular faz modelagens matemáticas a partir de vídeos que são inseridos em sua plataforma. Esses vídeos precisam mostrar objetos sendo lançados ao ar. A partir da trajetória que o objeto faz no ar, o aplicativo modela a lei de formação de uma função. Em um dos vídeos, o aplicativo forneceu a lei de formação f(x) = -2x² + 10x, em que x varia entre 0 e 5. A partir dessa informação, foi possível calcular a altura máxima f(x) que o objeto alcançou em sua trajetória. Qual foi a altura máxima, em metro, que esse objeto atingiu em sua trajetória?

Análise da Questão

Esta questão trata do estudo de funções quadráticas, especificamente a busca pelo ponto de máximo de uma parábola.

A função fornecida é f(x) = -2x^2 + 10x.

Para resolver, precisamos identificar os coeficientes da função do segundo grau (ax^2 + bx + c):

• a = -2
• b = 10
• c = 0

Como o coeficiente a é negativo (-2), a parábola possui concavidade voltada para baixo. Isso significa que o vértice dessa parábola representa exatamente o valor máximo da função (altura máxima do objeto).

Desenvolvimento do Cálculo

Existem duas formas principais de encontrar a altura máxima: calculando primeiro a posição x do vértice ou usando a fórmula direta do y do vértice.

Método 1: Encontrando o X_v primeiro

O eixo de simetria (onde ocorre o máximo) é dado pela fórmula X_v = \frac{-b}{2a}.

Substituindo os valores:
X_v = \frac{-10}{2 \times (-2)}
X_v = \frac{-10}{-4}
X_v = 2.5

Isso indica que o objeto atinge a altura máxima quando x = 2.5. Agora, substituímos este valor na função original para achar a altura:

Método 2: Usando a fórmula do Y_v diretamente

A altura máxima (Y_v) pode ser calculada diretamente pela fórmula \frac{-\Delta}{4a}, onde \Delta é o discriminante (b^2 - 4ac).

Primeiro, calculamos o \Delta:
\Delta = 10^2 - 4(-2)(0)
\Delta = 100 - 0
\Delta = 100

Agora, aplicamos na fórmula do vértice Y_v:
Y_v = \frac{-100}{4 \times (-2)}
Y_v = \frac{-100}{-8}
Y_v = 12.5

Conclusão

Ambos os métodos confirmam que o ponto de máximo da função ocorre no valor de 12.5. Como a unidade de medida mencionada no enunciado é metro, a altura máxima atingida pelo objeto é de 12.5 metros.

Resposta Final: 12.5 metros