Um circuito RLC é formado por uma fonte de tensão de 1,5V, um resistor de 20Ω, um capacitor de 10⁻³ F e um indutor de 0,1H todos conectados em série. Determine a corrente que circula pelo circuito em todo tempo, se inicialmente o capacitor estiver totalmente descarregado e não flui corrente sobre o circuito.

Alternativa D

Análise Detalhada

Para resolver esta questão, precisamos analisar o comportamento transiente de um circuito RLC em série submetido a um degrau de tensão.

1. Identificação dos Parâmetros
Os dados fornecidos pelo enunciado são:

• Tensão da fonte (V): $1,5 \text{ V}$
• Resistência (R): $20 \, \Omega$
• Indutância (L): $0,1 \text{ H}$
• Capacitância (C): $10^{-3} \text{ F}$ ($1 \text{ mF}$)

2. Verificação do Tipo de Amortecimento
Para determinar a forma da resposta, calculamos o coeficiente de amortecimento (\alpha) e a frequência natural não amortecida (\omega_0).

• Coeficiente de amortecimento:
  \alpha = \frac{R}{2L} = \frac{20}{2 \times 0,1} = \frac{20}{0,2} = 100
• Frequência natural:
  \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{0,1 \times 10^{-3}}} = \frac{1}{\sqrt{10^{-4}}} = \frac{1}{10^{-2}} = 100

Como observamos que \alpha = \omega_0 = 100, o circuito está em Amortecimento Crítico. Isso significa que a corrente não oscilará, mas retornará ao zero da maneira mais rápida possível sem ultrapassagens.

3. Determinação da Função da Corrente
Para um amortecimento crítico, a solução geral da equação diferencial da corrente possui a forma:
i(t) = (K_1 + K_2 t)e^{-\alpha t}

Aplicando as condições iniciais:

1. Corrente inicial nula: O enunciado diz que "não flui corrente" inicialmente (i(0) = 0).
   i(0) = (K_1 + 0) \cdot 1 = 0 \Rightarrow K_1 = 0
   Logo, a função simplifica para i(t) = K_2 t e^{-100t}.
2. Variação inicial da corrente: Pela Lei de Kirchhoff das Tensões no instante t=0, como o capacitor está descarregado (V_C=0) e a corrente é zero (V_R=0), toda a tensão da fonte ($1,5\text{V}$) cai sobre o indutor.
   V_L = L \cdot \frac{di}{dt} \Rightarrow 1,5 = 0,1 \cdot \frac{di}{dt}(0)
   \frac{di}{dt}(0) = \frac{1,5}{0,1} = 15 \, \text{A/s}

Derivando nossa expressão de corrente i(t) = K_2 t e^{-100t} e avaliando em t=0, encontramos que K_2 deve ser igual a essa taxa de variação inicial. Portanto, K_2 = 15.

A equação correta matematicamente seria:
i(t) = 15t e^{-100t} \, \text{A}

4. Conclusão e Escolha da Alternativa
Ao analisarmos as opções disponíveis, notamos que nenhuma delas apresenta o termo "t$" multiplicando a exponencial, o que é tecnicamente necessário para o caso crítico. No entanto, todas compartilham o expoente $-100t (correto) e diferem apenas pelo coeficiente.

O valor numérico que calculamos para o coeficiente principal foi 15. A alternativa que contém este valor é a D, assumindo que houve uma simplificação ou erro de formatação na questão ao omitir o "$t$".

Portanto, a alternativa que melhor se adequa aos cálculos realizados é a D.