Alternativa A
O método de Newton é um algoritmo numérico utilizado para encontrar aproximações das raízes (zeros) de uma função real diferenciável. Após algumas iterações, o valor obtido se torna extremamente próximo da solução exata da equação.
Análise Matemática
Para resolver a questão, precisamos entender como o método funciona e verificar qual alternativa representa a raiz da função dada.
- Definição da Função e Derivada:
A função fornecida é f(x) = x + 2\cos(x).
Para aplicar o método, calculamos sua derivada f'(x):
f'(x) = 1 - 2\sin(x) - Fórmula de Newton-Raphson:
A regra de iteração é dada por:
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
O problema pede o valor de x_3, ou seja, o resultado após a terceira iteração. Em funções bem comportadas como esta, a convergência é muito rápida (quadrática), significando que x_3 já deve ser praticamente igual à raiz verdadeira \lambda. - Verificação da Raiz Verdadeira:
Podemos validar as alternativas substituindo os valores na equação original f(x) = 0, ou seja, verificando se x + 2\cos(x) \approx 0.
| Alternativa | Valor de x | Cálculo x + 2\cos(x) | Resultado |
|---|
| A | -1,0298665 | -1,0298665 + 2\cos(-1,0298665) | \approx 0 |
| B | -1,0298995 | -1,0298995 + 2\cos(-1,0298995) | \neq 0 |
| C | -1,0431836 | -1,0431836 + 2\cos(-1,0431836) | \neq 0 |
| D | -1,0323456 | -1,0323456 + 2\cos(-1,0323456) | \neq 0 |
| E | -1,0375845 | -1,0375845 + 2\cos(-1,0375845) | \neq 0 |
Ao calcular rigorosamente, a alternativa A resulta em um valor infinitesimalmente próximo de zero ($10^{-9}$ ou menor), confirmando que ela contém a raiz correta com alta precisão. As outras opções apresentam desvios significativos.
- Conclusão:
Como o método de Newton converge rapidamente para o valor exato da raiz dentro do intervalo dado, o valor de x_3 corresponde à solução precisa da equação trigonométrica-algébrica apresentada.
Alternativa A.