Um processo a ser controlado em uma planta industrial pode ser modelado pela seguinte função de transferência em malha aberta: G(s) = 15 / (s(s+2)(s+4)) Considere o sistema de controle em malha fechada resultante da aplicação de uma realimentação unitária negativa a essa planta e que esse sistema seja submetido a uma excitação de entrada na forma de um degrau unitário. Com base nessa situação, avalie as afirmações a seguir. I - O sistema em malha fechada possui um polo em s = -2. II - A saída do sistema apresenta erro estacionário em regime permanente nulo. III - O sistema em malha fechada é estável.

Alternativa D - II e III, apenas

Para resolver esta questão, precisamos analisar as propriedades do sistema em malha fechada derivado da planta G(s) dada.

Análise Detalhada

1. Equação Característica do Sistema em Malha Fechada

O sistema possui realimentação unitária negativa (H(s) = 1). A função de transferência em malha fechada T(s) é:

A estabilidade e os pólos são determinados pelo denominador desta expressão (Equação Característica):

Multiplicando por s(s+2)(s+4) para eliminar a fração:

Esta é a equação polinomial cujas raízes são os pólos do sistema em malha fechada.

## Avaliação das Afirmações

Afirmação I: O sistema em malha fechada possui um polo em s = -2.

Para verificar se s = -2 é um polo, substituímos esse valor na equação característica. Se o resultado for zero, então é um polo.

Substituindo s = -2:
(-2)^3 + 6(-2)^2 + 8(-2) + 15
= -8 + 6(4) - 16 + 15
= -8 + 24 - 16 + 15
= 15 \neq 0

Como o resultado é diferente de zero, s = -2 não é raiz da equação característica (embora fosse um polo da malha aberta).
\Rightarrow Afirmação FALSA.

Afirmação II: A saída do sistema apresenta erro estacionário em regime permanente nulo.

O erro estacionário depende do "Tipo" do sistema, definido pelo número de integradores (s no denominador sem cancelamento) na função de transferência de malha aberta G(s).

Existem dois fatores de s? Não, existe apenas um fator s isolado no denominador.
Portanto, é um Sistema Tipo 1.

Para uma entrada degrau unitário:

• Sistemas Tipo 0 têm erro constante.
• Sistemas Tipo 1 ou superior têm erro nulo.

Matematicamente, o erro é e_{ss} = \frac{1}{1 + K_p}. Como há um integrador, K_p = \lim_{s \to 0} G(s) = \infty, logo e_{ss} = 0.
\Rightarrow Afirmação VERDADEIRA.

Afirmação III: O sistema em malha fechada é estável.

Para verificar a estabilidade, utilizamos o Critério de Routh-Hurwitz sobre a equação característica s^3 + 6s^2 + 8s + 15 = 0.

Montagem da tabela de Routh:

A primeira coluna é: 1, 6, 5.5, 15.
Todos os valores são positivos e não houve mudança de sinal. Isso indica que todas as raízes possuem parte real negativa.
\Rightarrow Afirmação VERDADEIRA.

Conclusão

• I é Falsa.
• II é Verdadeira.
• III é Verdadeira.

A combinação correta é II e III.

Alternativa D