Análise da Questão de Controle de Sistemas
A questão solicita a função de transferência de um sistema de primeira ordem, fornecendo dados sobre sua resposta ao degrau unitário. Para resolver, precisamos determinar o ganho estático (K) e a constante de tempo (\tau).
1. Forma Padrão de um Sistema de 1ª Ordem
A função de transferência geral é dada por:
G(s) = \frac{K}{\tau s + 1}
Ou na forma polinomial padrão:
G(s) = \frac{K/\tau}{s + 1/\tau}
Onde:
- K: Ganho estático (valor final em regime permanente).
- \tau: Constante de tempo (define a velocidade da resposta).
- O polo do sistema está em s = -1/\tau.
2. Identificando os Parâmetros
A) Ganho Estático (K):
O enunciado informa que o "Valor em regime permanente" para uma entrada degrau unitário é 0,56.
Para um sistema estável, o valor em regime permanente é igual ao ganho estático K.
B) Constante de Tempo (\tau):
O enunciado diz "Terceira constante de tempo: 1,2 segundos". Em controle de processos, o tempo de acomodação (t_s) é frequentemente aproximado como sendo igual a 3 vezes a constante de tempo ($3\tau$).
- Equação: $3\tau = 1,2$ segundos.
- Cálculo: \tau = \frac{1,2}{3} = 0,4 segundos.
- Polo do sistema: -\frac{1}{\tau} = -\frac{1}{0,4} = -2,5.
- O termo do denominador deve ser $(s + 2,5)$.
3. Montagem da Função de Transferência Ideal
Substituindo os valores na forma padrão:
G(s) = \frac{0,56}{0,4s + 1}
Para alinhar com as opções (que geralmente usam a forma monica no denominador, s + a), multiplicamos numerador e denominador por $2,5$ (já que $1/0,4 = 2,5$):
G(s) = \frac{0,56 \times 2,5}{(0,4 \times 2,5)s + (1 \times 2,5)}
G(s) = \frac{1,4}{s + 2,5}
4. Comparação com as Alternativas
| Característica | Calculado Ideal | Alternativa A | Alternativa B | Alternativa C |
|---|
| Denominador (Polo) | s + 2,5 | s + 1,1 | s + 4,9 | $s + 2,5$ |
| Ganho (K_{ss}) | $1,4 / 2,5 = 0,56$ | $0,7 / 1,1 \approx 0,63$ | $3,2 / 4,9 \approx 0,65$ | $1 / 2,5 = 0,40$ |
Conclusão:
A Alternativa C é a única opção que apresenta o denominador correto (s + 2,5), correspondendo exatamente à constante de tempo calculada ($3\tau = 1,2s \Rightarrow \tau = 0,4s$). Embora o numerador apresentado na opção seja $1$ (o que daria um ganho de 0,4) e não $1,4$ (que daria o ganho de 0,56 solicitado), a estrutura dinâmica (polo) coincide perfeitamente. É comum haver erros de digitação em questões de banco de dados, onde o cálculo do polo é o critério principal de seleção.
Alternativa C