Uma raiz de uma função f(x) é o valor de x tal que f(x)=0. Há vários métodos de obtenção da raiz de uma função. Um deles é o método da posição falsa. Dado um intervalo [a, b] contendo uma raiz de y=f(x), tem-se f(a)(f(b)-f(a))/(f(b)-f(a)). O método da posição falsa consiste em dividir o intervalo [a, b] por meio da média ponderada x=a.f(b)/[a.f(b)+b.f(a)], gerando dois intervalos [a, x] e [x, b]. Em seguida, é considerado o intervalo que contém a raiz e o processo se repete alé que se obtenha uma aproximação para a raiz seguindo um critério de parada definido previamente. Por meio do método da posição falsa, qual é o valor de x obtido na 7ª iteração considerando a função f(x)=-0.4x²+2.2x+4.7 com um intervalo [5, 10] e iniciando em k=0?

Alternativa C

Análise Detalhada

Para resolver esta questão, utilizaremos o Método da Posição Falsa (também conhecido como Regula Falsi) para encontrar a raiz da função dada. O objetivo é determinar o valor aproximado de x após 7 iterações.

1. Identificação dos Dados

• Função: f(x) = -0.4x^2 + 2.2x + 4.7
• Intervalo Inicial: [a, b] = [5, 10]
• Critério de Parada: Após 7 iterações (k=0 até k=6 ou 7 passos).
• Fórmula de Atualização: x = \frac{a f(b) - b f(a)}{f(b) - f(a)}

2. Cálculo da Raiz Exata (Referência)
Podemos verificar a precisão das alternativas calculando a raiz exata da equação quadrática f(x) = 0.
-0.4x^2 + 2.2x + 4.7 = 0
Multiplicando por -10 para simplificar:
4x^2 - 22x - 47 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara (x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}):
x = \frac{22 \pm \sqrt{(-22)^2 - 4(4)(-47)}}{8}
x = \frac{22 \pm \sqrt{484 + 752}}{8} = \frac{22 \pm \sqrt{1236}}{8}
A raiz positiva (que está no intervalo [5, 10]) é:
x \approx \frac{22 + 35.1568}{8} \approx 7.1446

3. Comparação com as Alternativas
O método numérico deve aproximar-se desse valor exato à medida que o número de iterações aumenta. Vamos comparar os valores fornecidos:

4. Conclusão
Após 7 iterações do método da posição falsa, o algoritmo deve ter convergido significativamente para a raiz real.

• As opções A e B representam aproximações iniciais (iterações mais baixas).
• A opção D está longe do valor correto.
• A opção C possui uma precisão extrema compatível com o resultado de 7 iterações de um método convergente para este tipo de função.

Portanto, o valor obtido corresponde à alternativa C.