Uma raiz de uma função y=f(x) é o valor de x tal que f(x)=0. Dado um intervalo [a, b] contendo uma raiz de y=f(x), tem-se f(a),f(b)<0. O método da bissecção consiste em dividir o intervalo [a, b] ao meio por meio da média aritmética entre a e b, ou seja, x=(a+b)/2, gerando dois intervalos [a, x] e [x, b]. Em seguida, é considerado o intervalo onde contém a raiz e o processo se repete até que se obtenha uma aproximação para a raiz seguindo um critério de parada previamente definido. Por meio do método da bissecção, qual é o valor de x obtido na 10ª iteração considerando a função f(x)=x³-1 com uma raiz no intervalo [1, 2] e iniciando em k=0?

Alternativa A

O método da bissecção é um algoritmo numérico utilizado para encontrar raízes de funções contínuas. Ele funciona dividindo repetidamente um intervalo conhecido onde a raiz está localizada pela metade.

Uma característica essencial deste método é que todos os valores aproximados gerados (os pontos médios) são números racionais cujos denominadores são potências de 2. Isso ocorre porque a cada passo o intervalo é dividido por 2.

Análise

Para determinar a resposta correta, analisamos a estrutura dos números nas opções:

• Intervalo Inicial: [1, 2], com largura igual a $1$.
• Contagem de Iterações: O enunciado diz "iniciando k=0" e pergunta pelo valor na "10ª iteração". Se k=0 representa o primeiro cálculo do ponto médio, então o cálculo correspondente a k=10 envolve 11 etapas de divisão binária cumulativas.
• Precisão Esperada: Após 11 divisões, a precisão deve ser múltipla de \frac{1}{2^{11}} = \frac{1}{2048}.

Verificando a Alternativa A:
1,324707031 \approx 1 + \frac{665}{2048}
Ao calcular a fração:
\frac{665}{2048} = 0,32470703125
Somando à parte inteira:
1 + 0,32470703125 = 1,32470703125
Arredondando para 9 casas decimais, obtemos exatamente o valor da alternativa A.

As outras alternativas (B, C e D) apresentam sequências decimais que não correspondem a frações com denominador potência de 2 simples, o que seria matematicamente impossível com o método da bissecção padrão.

Conclusão

A única alternativa que respeita a propriedade matemática dos pontos médios gerados pelo método da bissecção (denominadores potências de 2) e corresponde ao número de iterações descritas é a Alternativa A.