Usando transformada de Laplace encontre a expressão para a carga q(t) para um regime transitório em um circuito RLC sabendo que R = 40Ω, C = 0,0125 F, L = 10 H e v(t) = 10.cos(10,t). Considere que a carga e a corrente elétrica para t=0 são nulas.

Resolução de Circuito RLC via Transformada de Laplace

Resumo da resposta
A expressão para a carga q(t) é determinada aplicando a Lei de Kirchhoff das Tensões e resolvendo a equação diferencial resultante através da Transformada de Laplace, resultando na soma de uma resposta transitória exponencial e uma resposta permanente senoidal.

Desenvolvimento

Para encontrar a expressão da carga q(t), seguimos os passos fundamentais de modelagem matemática de circuitos elétricos.

1. Equação Diferencial do Circuito
   A lei das malhas de Kirchhoff para um circuito RLC série em série é dada por:
   L \frac{di}{dt} + Ri + \frac{1}{C} \int i \, dt = v(t)

Sabemos que a corrente elétrica i é a derivada da carga q em relação ao tempo (i = \frac{dq}{dt}). Substituindo isso na equação, obtemos a equação diferencial de segunda ordem para a carga:
L \frac{d^2q}{dt^2} + R \frac{dq}{dt} + \frac{1}{C} q = v(t)

1. Substituição dos Dados Numéricos
   Com os valores fornecidos (R = 40 \Omega, C = 0,0125 \text{ F}, L = 10 \text{ H}, v(t) = 10\cos(10t)):

• \frac{1}{C} = \frac{1}{0,0125} = 80

A equação torna-se:
10 \frac{d^2q}{dt^2} + 40 \frac{dq}{dt} + 80 q = 10 \cos(10t)

Simplificando dividindo todos os termos por 10:
\frac{d^2q}{dt^2} + 4 \frac{dq}{dt} + 8 q = \cos(10t)

1. Aplicação da Transformada de Laplace
   Aplicamos a transformada considerando as condições iniciais nulas (q(0) = 0 e i(0) = q'(0) = 0):

• \mathcal{L}\{q''\} = s^2 Q(s)
• \mathcal{L}\{q'\} = s Q(s)
• \mathcal{L}\{\cos(10t)\} = \frac{s}{s^2 + 100}

A equação algébrica no domínio da frequência s fica:
(s^2 + 4s + 8) Q(s) = \frac{s}{s^2 + 100}

Isolando Q(s):
Q(s) = \frac{s}{(s^2 + 100)(s^2 + 4s + 8)}

1. Decomposição em Frações Parciais e Inversa
   Para obter q(t), precisamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace. Isso requer decompor Q(s) em frações parciais para identificar formas tabulares conhecidas:
   Q(s) = \frac{As+B}{s^2+100} + \frac{Cs+D}{s^2+4s+8}

Resolvendo o sistema de coeficientes e aplicando a inversa:

• O termo com s^2+100 gera as funções cosseno e seno de frequência 10 rad/s (regime permanente).
• O termo com s^2+4s+8 = (s+2)^2 + 4 gera funções moduladas por e^{-2t} com frequência 2 rad/s (regime transitório).

Calculando os coeficientes aproximados:

• A \approx -0,0091
• B \approx 0,0398
• C \approx 0,0091
• D \approx -0,0032

A expressão final no domínio do tempo é:
q(t) \approx -0,0091 \cos(10t) + 0,0040 \sin(10t) + e^{-2t} \left[ 0,0091 \cos(2t) - 0,0107 \sin(2t) \right]

Análise

• Componentes da Resposta: A solução física se divide em duas partes distintas. A parte com e^{-2t} representa o transitório, que decai rapidamente devido à resistência do circuito dissipar energia. A parte com \cos(10t) e \sin(10t) representa o regime permanente, onde o circuito oscila na mesma frequência da fonte de tensão.
• Raízes do Polinômio Característico: As raízes do denominador s^2 + 4s + 8 são -2 \pm 2i. A parte real negativa (-2) garante a estabilidade do sistema (resposta transiente não explode), enquanto a parte imaginária ($2$) define a frequência natural amortecida do circuito.
• Validação Física: Em t=0, a carga é zero e a corrente é zero, satisfazendo as condições iniciais impostas. Conforme t \to \infty, o termo exponencial zera, restando apenas a oscilação forçada pela fonte v(t).

Conclusão
O problema foi resolvido convertendo o modelo físico do circuito em uma equação diferencial, aplicando a ferramenta matemática da Transformada de Laplace para simplificar a resolução e, finalmente, retornando ao domínio do tempo para obter a função da carga q(t).