Use a equação de análise da transformada de Fourier para calcular a transformada.

Alternativa D

A questão solicita o cálculo da Transformada de Fourier para o sinal x(t) = e^{-2(t-1)}u(t-1). Para resolver, utilizamos propriedades fundamentais da Transformada de Fourier.

Análise Matemática

Para encontrar a resposta correta, precisamos aplicar dois conceitos principais: a transformada de um sinal exponencial básico e a propriedade de deslocamento no tempo.

1. Transformada do Exponencial Básico:
   Sabemos que a Transformada de Fourier de um sinal exponencial causal e^{-at}u(t) (onde a > 0) é dada pela fórmula:
   \mathcal{F}\{e^{-at}u(t)\} = \frac{1}{a + j\omega}
   No nosso caso, temos a = 2, logo a transformada base seria \frac{1}{2 + j\omega}.
2. Propriedade de Deslocamento no Tempo:
   O sinal fornecido possui um termo (t-1) tanto na exponencial quanto na função degrau u(t-1). Isso indica um atraso de t_0 = 1 segundo.
   A propriedade estabelece que se x(t) \leftrightarrow X(\omega), então um deslocamento resulta em:
   x(t - t_0) \leftrightarrow e^{-j\omega t_0} X(\omega)
3. Cálculo Final:
   Combinando os dois passos acima:

• Tomamos a transformada base: \frac{1}{2 + j\omega}
• Multiplicamos pelo fator de fase do deslocamento (t_0 = 1): e^{-j\omega(1)}

Resultado:
X(\omega) = e^{-j\omega} \cdot \frac{1}{2 + j\omega} = \frac{e^{-j\omega}}{2 + j\omega}

Comparação com as Alternativas

Portanto, a alternativa que apresenta corretamente a Transformada de Fourier do sinal é a D.