Use algumas das definições equivalentes de derivada para calcular f'(5), onde f(x) = −x² e determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto (5, f(5)).

Alternativa A

A questão pede para determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = -x^2 no ponto onde x = 5. Para isso, devemos seguir dois passos fundamentais: encontrar as coordenadas do ponto de tangência e calcular a inclinação da reta (que é o valor da derivada naquele ponto).

Desenvolvimento

O processo começa substituindo o valor de x na função para achar o ponto exato (x_0, y_0). Depois, calculamos a derivada f'(x) e avaliamos em x=5 para obter a inclinação m. Finalmente, aplicamos a fórmula da reta usando esses dados.

Análise Matemática

• Cálculo do Ponto: Substituímos x = 5 na função f(x) = -x^2.
  f(5) = -(5)^2 = -25
  Portanto, as coordenadas do ponto são (5, -25).
• Cálculo da Inclinação (Derivada): A inclinação da reta tangente é dada pela derivada da função avaliada no ponto.
  f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^2) = -2x
  Avaliando em x = 5:
  f'(5) = -2(5) = -10
  Logo, o coeficiente angular da reta é m = -10.
• Equação da Reta Tangente: Utilizamos a forma geral da equação da reta conhecida como forma ponto-inclinação: y - y_0 = m(x - x_0).
  Substituindo os valores encontrados (x_0 = 5, y_0 = -25, m = -10):
  y - (-25) = -10(x - 5)
  y + 25 = -10(x - 5)
  Isolando y para comparar com as alternativas:
  y = -10(x - 5) - 25

Conclusão

Ao compararmos o resultado obtido com as opções disponíveis, verificamos que ele corresponde exatamente à equação apresentada na alternativa a.