Alternativa A
Para resolver esta equação diferencial utilizando a Transformada de Laplace, devemos seguir os passos padrão de conversão do domínio do tempo para o domínio da frequência complexa (s), resolver algebricamente e retornar ao tempo.
Resolução Detalhada
1. Aplicação da Transformada de Laplace
Dada a equação diferencial:
\frac{d^2y(t)}{dt^2} + 8\frac{dy(t)}{dt} + 15y(t) = 120u(t)
Considerando as condições iniciais nulas (y(0) = 0 e y'(0) = 0), aplicamos a propriedade da derivada \mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\} = s^n F(s) - s^{n-1}f(0) - \dots - f^{(n-1)}(0). Como as condições são zero, simplificamos para:
- \mathcal{L}\{\frac{d^2y}{dt^2}\} = s^2 Y(s)
- \mathcal{L}\{\frac{dy}{dt}\} = s Y(s)
- \mathcal{L}\{u(t)\} = \frac{1}{s} (transformada do degrau unitário)
Substituindo na equação original:
s^2 Y(s) + 8s Y(s) + 15 Y(s) = 120 \cdot \frac{1}{s}
2. Isolamento de Y(s)
Fatoramos Y(s) no lado esquerdo e resolvemos para obter a função de transferência no domínio s:
Y(s) (s^2 + 8s + 15) = \frac{120}{s}
Y(s) = \frac{120}{s(s^2 + 8s + 15)}
3. Fatoração e Frações Parciais
Fatoramos o polinômio quadrático s^2 + 8s + 15. As raízes são encontradas resolvendo x^2 + 8x + 15 = 0, resultando em (s+3) e (s+5).
Y(s) = \frac{120}{s(s+3)(s+5)}
Realizamos a decomposição em frações parciais para facilitar a inversão:
\frac{120}{s(s+3)(s+5)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+3} + \frac{C}{s+5}
Calculamos os coeficientes A, B e C:
- Para s = 0: $120 = A(3)(5) \Rightarrow 15A = 120 \Rightarrow \mathbf{A = 8}$
- Para s = -3: $120 = B(-3)(2) \Rightarrow -6B = 120 \Rightarrow \mathbf{B = -20}$
- Para s = -5: $120 = C(-5)(-2) \Rightarrow 10C = 120 \Rightarrow \mathbf{C = 12}$
Assim, temos:
Y(s) = \frac{8}{s} - \frac{20}{s+3} + \frac{12}{s+5}
4. Transformada Inversa
Aplicamos a transformada inversa \mathcal{L}^{-1} em cada termo, lembrando que \mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s+a}\} = e^{-at}u(t):
- \mathcal{L}^{-1}\{\frac{8}{s}\} = 8u(t)
- \mathcal{L}^{-1}\{-\frac{20}{s+3}\} = -20e^{-3t}u(t)
- \mathcal{L}^{-1}\{\frac{12}{s+5}\} = 12e^{-5t}u(t)
Montando a expressão final de y(t):
y(t) = (8 - 20e^{-3t} + 12e^{-5t})u(t)
Esta expressão corresponde exatamente à Alternativa A.