Alternativa A
A resolução deste problema envolve aplicar a transformada de Laplace para converter a equação diferencial do domínio do tempo (t) para o domínio da frequência complexa (s), resolver algebricamente para encontrar a função no domínio s e, finalmente, aplicar a transformada inversa.
Desenvolvimento da Solução
1. Aplicação da Transformada de Laplace
Dada a equação diferencial:
\frac{d^2y(t)}{dt^2} + 8 \frac{dy(t)}{dt} + 15y(t) = 120u(t)
Com condições iniciais nulas (y(0)=0 e y'(0)=0), aplicamos a propriedade de derivadas da transformada de Laplace:
- \mathcal{L}\{y''(t)\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) = s^2Y(s)
- \mathcal{L}\{y'(t)\} = sY(s) - y(0) = sY(s)
- \mathcal{L}\{u(t)\} = \frac{1}{s}
Substituindo na equação original:
s^2Y(s) + 8sY(s) + 15Y(s) = 120 \cdot \frac{1}{s}
2. Isolamento de Y(s)
Fatoramos o lado esquerdo e isolamos Y(s):
Y(s)(s^2 + 8s + 15) = \frac{120}{s}
Y(s) = \frac{120}{s(s^2 + 8s + 15)}
Fatoramos o polinômio quadrático (s^2 + 8s + 15) = (s+3)(s+5):
Y(s) = \frac{120}{s(s+3)(s+5)}
3. Decomposição em Frações Parciais
Para encontrar a transformada inversa, precisamos decompor a expressão em termos mais simples:
\frac{120}{s(s+3)(s+5)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+3} + \frac{C}{s+5}
Calculamos os coeficientes multiplicando por s(s+3)(s+5) e substituindo as raízes:
- Para A (fazer s=0):
A = \frac{120}{(0+3)(0+5)} = \frac{120}{15} = 8 - Para B (fazer s=-3):
B = \frac{120}{(-3)(-3+5)} = \frac{120}{-3 \cdot 2} = \frac{120}{-6} = -20 - Para C (fazer s=-5):
C = \frac{120}{(-5)(-5+3)} = \frac{120}{-5 \cdot -2} = \frac{120}{10} = 12
Assim, temos:
Y(s) = \frac{8}{s} - \frac{20}{s+3} + \frac{12}{s+5}
4. Transformada Inversa
Aplicamos a transformada inversa \mathcal{L}^{-1} usando as pares conhecidos:
- \mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s}\} = u(t)
- \mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s+a}\} = e^{-at}u(t)
Obtemos a solução final:
y(t) = 8u(t) - 20e^{-3t}u(t) + 12e^{-5t}u(t)
Fatorando u(t):
y(t) = (8 - 20e^{-3t} + 12e^{-5t})u(t)
Análise das Alternativas
| Termo | Valor Calculado | Observação |
|---|
| Constante | $8$ | Vem do polo em s=0 |
| Exponencial e^{-3t} | -20 | Vem do polo em s=-3 |
| Exponencial e^{-5t} | +12 | Vem do polo em s=-5 |
Comparando com as opções apresentadas na imagem:
- Alternativa A: Corresponde exatamente ao resultado obtido ($8 - 20e^{-3t} + 12e^{-5t}$).
- Alternativa B: Valores incorretos.
- Alternativa C: Coeficientes e sinais trocados.
- Alternativa D: Coeficientes $12$ e $20$ invertidos entre as exponenciais.
- Alternativa E: Valor inicial incorreto ($1$ em vez de $8$) e falta u(t).
Conclusão
A alternativa correta é a A, pois representa fielmente a solução da equação diferencial através da análise de polos e resíduos realizada via Transformada de Laplace.