Utilizando coordenadas polares calcule ∬R (3x + 4y²)dA na região R = {(x, y) | y ≥ 0, 1 ≤ x² + y² ≤ 4}.

Alternativa B

Este problema envolve o cálculo de uma integral dupla utilizando coordenadas polares. O objetivo é encontrar o valor da integral sobre uma região específica definida por desigualdades.

Desenvolvimento

Para resolver esta questão, devemos seguir os passos fundamentais para a conversão de integrais duplas em coordenadas polares:

1. Identificar os limites da região R:

• A condição $1 \leq x^2 + y^2 \leq 4$ define um anel entre círculos de raio r=1 e r=2. Logo, $1 \leq r \leq 2$.
• A condição y \geq 0 indica que estamos no semiplano superior. Em coordenadas polares, isso corresponde ao intervalo angular $0 \leq \theta \leq \pi$.

1. Realizar a substituição das variáveis:

• Substituímos x = r \cos \theta e y = r \sin \theta.
• O elemento de área dA torna-se r \, dr \, d\theta (Jacobiano).
• A função integranda (3x + 4y^2) transforma-se em:
  3(r \cos \theta) + 4(r \sin \theta)^2 = 3r \cos \theta + 4r^2 \sin^2 \theta

1. Montar a integral:
   Multiplicando a função transformada pelo Jacobiano r, temos:
   I = \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} (3r \cos \theta + 4r^2 \sin^2 \theta) \cdot r \, dr \, d\theta
   I = \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} (3r^2 \cos \theta + 4r^3 \sin^2 \theta) \, dr \, d\theta

Análise

Vamos calcular a integral passo a passo:

• Integração em relação a r:
• Para o primeiro termo: \int_{1}^{2} 3r^2 \cos \theta \, dr = \cos \theta [r^3]_1^2 = \cos \theta (8 - 1) = 7 \cos \theta.
• Para o segundo termo: \int_{1}^{2} 4r^3 \sin^2 \theta \, dr = 4 \sin^2 \theta [\frac{r^4}{4}]_1^2 = \sin^2 \theta (16 - 1) = 15 \sin^2 \theta.
• O resultado parcial é: $7 \cos \theta + 15 \sin^2 \theta$.
• Integração em relação a \theta:
• Primeiro termo: \int_{0}^{\pi} 7 \cos \theta \, d\theta = 7 [\sin \theta]_0^\pi = 7(0 - 0) = 0. (Nota: Isso ocorre pela simetria da função ímpar x sobre o semicírculo superior).
• Segundo termo: Utilizamos a identidade fornecida \sin^2 \theta = \frac{1}{2}(1 - \cos 2\theta).
  \int_{0}^{\pi} 15 \left[ \frac{1}{2}(1 - \cos 2\theta) \right] d\theta = \frac{15}{2} \int_{0}^{\pi} (1 - \cos 2\theta) \, d\theta
  = \frac{15}{2} \left[ \theta - \frac{1}{2}\sin 2\theta \right]_0^\pi
  = \frac{15}{2} \left[ (\pi - 0) - (0 - 0) \right] = \frac{15\pi}{2}

O valor final calculado é \frac{15\pi}{2}.

Conclusão

Comparando com as alternativas apresentadas, o resultado corresponde à opção B.