Utilizando seus conhecimentos e o que foi discutido na Unidade 3 calcule a área contida em um laço de rosácea de quatro pétalas r = cos 2θ. Note que -π/4 ≤ θ ≤ π/4 e 0 ≤ r ≤ cos 2θ

Question

Utilizando seus conhecimentos e o que foi discutido na Unidade 3 calcule a área contida em um laço de rosácea de quatro pétalas r = cos 2θ. Note que π/4 ≤ θ ≤ π/4 e 0 ≤ r ≤ cos 2θ A) π/6 B) π/12 C) π/2 D) π/4 E) π/8

Sapien IA · Accepted Answer

Alternativa E O problema solicita o cálculo da área de uma região delimitada por uma curva polar específica, conhecida como rosácea de quatro pétalas. Para resolver, utilizamos a fórmula padrão de área em coordenadas polares. Desenvolvimento A fórmula geral para calcular a área em coordenadas polares é dada pela seguinte integral definida: $$ A = \frac{1}{2} \int {\alpha}^{\beta} [r(	heta)]^2 \, d	heta $$ No enunciado, temos os seguintes dados fornecidos explicitamente: Função do raio: $r = \cos 2	heta$ Intervalo de variação angular: $ \frac{\pi}{4} \leq 	heta \leq \frac{\pi}{4}$ Substituindo esses valores na fórmula, montamos a integral inicial: $$ A = \frac{1}{2} \int { \pi/4}^{\pi/4} (\cos 2	heta)^2 \, d	heta $$ Análise Para resolver essa integral, precisamos simplificar o termo ao quadrado utilizando uma identidade trigonométrica fundamental de redução de potência. Identidade utilizada : $\cos^2 u = \frac{1 + \cos 2u}{2}$ Aplicação : Como temos $\cos^2 2	heta$, substituímos $u$ por $2	heta$, resultando em $\frac{1 + \cos 4	heta}{2}$ Agora substituímos essa expressão simplificada na equação da área: $$ A = \frac{1}{2} \int { \pi/4}^{\pi/4} \frac{1 + \cos 4	heta}{2} \, d	heta $$ Podemos retirar o denominador $2$ do integrando para fora, multiplicando pelo $\frac{1}{2}$ já existente, o que resulta num coeficiente global de $\frac{1}{4}$: $$ A = \frac{1}{4} \int { \pi/4}^{\pi/4} (1 + \cos 4	heta) \, d	heta $$ Calculamos a primitiva termo a termo: A integral de $1$ é $	heta$. A integral de $\cos 4	heta$ é $\frac{1}{4} \sin 4	heta$. Aplicamos os limites de integração na expressão resultante: $$ A = \frac{1}{4} \left[ 	heta + \frac{1}{4} \sin 4	heta ight] { \pi/4}^{\pi/4} $$ Substituímos os limites superior e inferior: No limite superior ($\frac{\pi}{4}$): $\frac{\pi}{4} + \frac{1}{4} \sin(\pi) = \frac{\pi}{4} + 0 = \frac{\pi}{4}$ No limite inferior ($ \frac{\pi}{4}$): $ \frac{\pi}{4} + \frac{1}{4} \sin( \pi) = \frac{\pi}{4} + 0 = \frac{\pi}{4}$ Finalmente, realizamos a subtração entre os valores: $$ A = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi}{4} \left( \frac{\pi}{4} ight) ight) = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi}{2} ight) = \frac{\pi}{8} $$ Conclusão O valor calculado para a área contida em um único laço da rosácea é $\frac{\pi}{8}$. Isso confirma que a resposta correta está listada no item E.

Explicação passo a passo

Desenvolvimento

Análise

Conclusão

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